Livello 1
Interviene su dati ricorrendo all’esperienza personale, secondo schemi collaudati. Comunica prevalentemente con linguaggio naturale verbale. pag2 tabelle a doppia entrata popolazione e unità statisticacarattere qualitativo e quantitativo pag3 ideogrammi,

Livello 2
Seleziona informazioni riguardanti caratteristiche collettive in funzione di uno scopo. Applica procedimenti collaudati di analisi, ragionamento, soluzione. Decifra le rappresentazioni grafiche e i simboli più ricorrenti. Comunica in forma orale e scritta usando il linguaggio specifico di uso
corrente. Condivide e affronta con altri procedure e punti problematici.

Livello 3
Analizza e rappresenta informazioni con diverse modalità. Rielabora informazioni in base ad un modello o ad una procedura data anche in contesti diversi. Coglie gli elementi essenziali e sintetizza il significato di un testo, una rappresentazione grafica, una tabella. Comunica in forma scritta. Raccoglie informazioni e le confronta. 3 frequenze, campo di variazione, costruzione questionario

Livello 4
Classifica, deduce, inferisce dati. Ricerca, integra informazioni da più fonti.
Ha un atteggiamento riflessivo e di fronte a situazioni e fenomeni, si pone domande e problematizza. Argomenta utilizzando informazioni di tipo matematico e statistico. Valorizza il confronto e l’apporto degli altri. Sa decentrarsi. 4 notazione scientifica, ordine di grandezza,popolazione statistica,campionemedie, mode, mediane:calcolo della probabilità classico; probabilità statistica

1 Conta, legge e scrive dati numerici di modesta entità;

Una tabella è costituita da un numero arbitrario di righe e colonne, all’incrocio delle quali vi sono degli spazi, detti generalmente celle, nei quali possono essere riportati i dati.

matematico standard l

Tabella con caratteri qualitativi e quantitativi. Quante persone sono state intervistate? Quanti maschi ci sono? Quanti sono casalinga?

Quanto è stato l’incasso nel 2003? Quanti respinti ci sono stati nel 2004? Quanti hanno gli occhi verdi e i capelli biondi?

Tabella costruita per classi. Quanti studenti impiegano meno di un quarto d’ora per arrivare a scuola.

1.2 individua domande e dati rilevanti per ricavare informazioni; distingue informazioni qualitative e quantitative, semplici analogie e differenze;

Secondo il poeta romano Trilussa, la Statistica è quella cosa per cui se tu mangi due polli ed io nessuno, abbiamo mangiato un pollo a testa.

matematico standard l

 La statistica è una parte della matematica, essa studia alcune proprietà di un insieme (una totalità, un gruppo che viene definito con dei criteri di appartenenza, ad esempio l’insieme delle persone che frequentano il XXI c.t.p.) di elementi che hanno una o più caratteristiche in comune (per tutti uguale).
L’insieme(può essere formato da persone, animali o cose) che viene analizzato si chiama popolazione statistica e ogni elemento dell’insieme si chiama unità statistica.

Esempio: vogliamo studiare alcune proprietà, caratteri o caratteristiche, delle persone che frequentano i corsi del XXI C.T.P., stabiliamo quali.
La nazionalità, il sesso, l’età, il tipo di corso frequentato, lo stato lavorativo, che può essere occupato (lavori), inoccupato (hai perso il lavoro), disoccupato ( non hai mai lavorato) e, infine, lo stato civile, che può essere coniugato ( sei sposato ),  separato (hai litigato con il tuo coniuge e non vivi più con lui ) divorziato ( il tuo matrimonio non vale più per la legge ), vedovo (il tuo coniuge è morto) celibe (maschio non sposato), nubile (femmina non sposata). Per studiare queste proprietà dobbiamo fare una indagine (indagare significa cercare di scoprire qualcosa, la polizia indaga per trovare il colpevole di una rapina in banca) con un questionario (un foglio dove sono scritte domande, questions), che chiede risposte necessarie alle singole unità statistiche ( le persone ) che formano la popolazione statistica (l’insieme degli studenti del XXI C.T.P.).
Le risposte possono essere di tipo quantitativo, cioè espresse (scritte) con un numero(età), oppure di tipo qualitativo, cioè espresse con una parola (nazionalità). In ogni caso le risposte possono essere associate ad un numero analizzando tutti i questionari, ad esempio ci sono 20 unità statistiche di nazionalità cinese, oppure 30 unità statistiche che hanno 16 anni.

La statistica è la scienza che si occupa della raccolta e della elaborazione di dati, con l’obiettivo di ricavare informazioni da usare.
La popolazione è l’insieme degli individui o degli elementi sui quali si vuole indagare (insieme delle persone che vivono in Italia, le aziende agrarie del Lazio, le lampadine prodotte da una certa azienda, le precipitazioni atomosferiche giornaliere in una certa località, le autovetture in circolazione in Italia, le estrazioni di numeri nel gioco del Lotto).
 L’unità statistica è ciascun elemento della popolazione statistica.
Il carattere di una indagine statistica è il tipo di dati sul quale l’indagine si effettua: altezza, numeri di figli, titolo di studio, stato civile, fatturato.
Un carattere qualitativo esprime una qualità, cioè valori non numerici come il mezzo di trasporto usato, il titolo di studio, il colore degli occhi. Può essere ordinabile (titolo di studio) o non ordinabile (colore degli occhi).

Caratteri ordinati sono: Grado di soddisfazione (con modalità Poco, Abbastanza, Molto) oppure Titolo di studio (con modalità Senza titolo, Licenza elementare, Licenza media, Diploma, Laurea, Dottorato).

Caratteri sconnessi sono: SessoAttivitàLuogo di NascitaReligione
Un carattere quantitativo esprime una quantità, cioè un valore numerico: numero di figli, età, altezza, peso, fatturato di un’azienda.
I dati quantitativi si distinguono in discreti, se il valore numerico può essere espresso solo da un numero intero (numero di scarpa, numero di figli, anni di età) o continui, se il valore numerico

può variare anche di piccole quantità (peso, altezza, superficie di un appartamento).

Caratteri quantitativi discreti sono: Numero di figliNumero di pezzi prodottiPosto in graduatoria. Un carattere continuo è invece il Peso.
Se i dati sono continui è opportuno organizzarli in classi cioè intervalli di valori tra i quali oscilla un gruppo (peso compreso tra 50 e 51 Kg, si può indicare come 50<p≤51, raccoglie tutti i valori compresi tra 50 e 51, in questo caso 50 è escluso, 51 è incluso

1.3 conta, raccoglie, ordina informazioni con un criterio; le rappresenta con insiemi o schemi grafici informali; definisce caratteristiche;

La rilevazione dei dati statistici consiste nel raccogliere le informazioni relative a dei caratteri oggetto di indagine e nel raggruppare i dati ottenuti.
Il censimento è una indagine statistica che riguarda tutti gli elementi della popolazione.
Il rilevamento per campione riguarda un sottoinsieme della popolazione scelto in maniera opportuna in modo che sia rappresentativo dell’intera popolazione.

Quando si fa una statistica i dati raccolti con il questionario vengono associati a dei numeri, scritti in delle tabelle, ognuna delle quali riporta una caratteristica (una proprietà) tra le domande fatte, es. per il tipo di corso frequentato ci potrebbero essere 150 persone studiano lingua italiana, 80 studiano inglese, 40 spagnolo, 60 informatica, 50 partecipano a corso di licenza media.
Poi le tabelle vengono rappresentate con grafici: areogrammi quadrati, a torta o ad anello, istogrammi, grafici a linee o a dispersione, ideogrammi, cartogrammi.

Il carattere, la caratteristica, di una indagine statistica è il tipo di dati sul quale l’indagine si effettua: altezza, numeri di figli, titolo di studio, stato civile, fatturato.

1.4 su esplicita consegna individua dati in un testo breve e di contenuto familiare;

1.5 riconosce i simboli e gli ideogrammi più diffusi;

Ideogramma è un grafico in cui si utilizzano immagini simboliche e stilizzate che richiamano la natura dei dati di cui ci si occupa (es. spighe di grano per la produzione di frumento, damigiane per la produzione di vino) la grandezza del disegno o il numero di volte che viene rappresentato è proporzionale alla frequenza con cui è stato rilevato il carattere oggetto di indagine.

Cartogramma è una rappresentazione grafica che fa uso di carte geografiche sulle quali vengono riportati i dati rilevati dall’indagine. Legenda è una parola latina che significa le cose che devono essere letteciò che è da leggere., serve per interpretare i grafici.

1.6 confronta, mette in ordine crescente o decrescente dati di uso comune espressi con numeri naturali (caratteristiche anagrafiche, sanitarie…);
1.7 riconosce relazioni e quantità espresse con parole, locuzioni, schemi (alcuni/tutti, parte/tutto, totale, aumento, diminuzione…);
1.8 riconosce aumenti e cali in rappresentazioni grafiche, tabelle, elenchi sintetici;
1.9 risolve semplici problemi aritmetici (aumento, diminuzione, resto….);
1.10 descrive oralmente, con linguaggio naturale, situazioni ed eventi;
1.11 reperisce, annota informazioni da spiegazioni e racconti orali.

2.1 reperisce, annota informazioni da spiegazioni e racconti orali;
2.2 legge e scrive numeri naturali e percentuali prefissate (dati di popolazione..);
2.3 riconosce caratteristiche complementari di un insieme;
2.4 interpreta quantità e relazioni espresse con locuzioni (pari a, almeno, minimo/massimo, minore/maggiore…) e simboli matematici ricorrenti; confronta sottoinsiemi;
2.5 su esplicita consegna, seleziona dati tra pochi distrattori da testi, elenchi, e rappresentazioni grafiche semplici;

2.6 individua l’intervallo minimo e massimo di variazione di dati;

Un intervallo di dati numerici è l’insieme dei valori che un dato può assumere, compreso tra un valore minimo, cioè il più piccolo, e il valore massimo, cioè il più grande.

2.7 confronta dati espressi con numeri naturali e individua minimi, massimi, intuitivamente valori medi;

In una classe liceale abbiamo rilevato le altezze in cm di 5 studenti
170, 174, 168, 179, 172, mettendoli in ordine crescente 168, 170, 172, 174, 179,  il massimo è 179 e il minimo 168.

2.8 ricava valori da grafici utilizzandone la scala;

2.9 trasferisce dati da testi a tabelle a grafici già predisposti;
2.10 individua le principali cause di variazione in una serie di dati; calcola aumenti e diminuzioni (nati, morti; immigrati, emigrati..);
2.11 analizza e risolve problemi di andamento e variabilità seguendo schemi prefissati;
2.12 descrive insiemi usando il linguaggio specifico;
2.13 individua e stima intuitivamente indicatori demografici significativi e loro valori (numero di abitanti della città, età media, numero di figli per famiglia…);
2.14 confronta dati e opinioni ricavati dall’ esperienza con dati più generali o con opinioni altrui.

3.1 Rappresenta graficamente dati (numeri naturali e decimali);
3.2 legge, scrive, confronta, rappresenta semplici numeri relativi e razionali (intesi come partizioni);
3.3 individua dati significativi da testi, tabelle, grafici: distingue tra dati essenziali, accessori, impliciti, espliciti;
3.4 definisce, raggruppa, sintetizza dati seguendo un modello o un criterio predefinito;
3.5 stima ordini di grandezza, approssima dati espressi con numeri naturali;
3.6 interpreta e utilizza simboli, leggende, schemi grafici (carte tematiche…);
3.7 sintetizza e comunica il significato complessivo di un messaggio con diverse modalità;
3.8 descrive e calcola variazioni nell’andamento di un fenomeno; confronta con esperienze personali;

3.9 individua valori medi, frequenze e campi di variazione, calcola medie (età media, classi di età…);

La frequenza assoluta è il numero di volte con cui si ripete un dato.
La frequenza assoluta dei frequentanti il corso di licenza media è 60, delle persone che studiano inglese è 80 e così via.
La frequenza relativa si calcola dividendo la frequenza assoluta per il numero totale delle unità statistiche ( che corrisponde al numero di elementi dell’insieme che si analizza), oppure dividendo la frequenza assoluta per il numero totale delle frequenze assolute.
Supponiamo che il numero di persone che frequentano il XXI C.T.P siano 2000, allora la frequenza relativa degli studenti della licenza media sarà 60/2000=0,03 la frequenza relativa delle persone che studiano inglese sarà 80/2000=0,04 e così via.
La percentuale si calcola moltiplicando la frequenza relativa per 100.
Percentuale studenti licenza media=0,03×100=3%.
Percentuale studenti inglese=0,04×100=4% e così via.

Il campo di variazione (range) è un indice di variabilità di un insieme di dati statistici, che si ottiene con un rapido calcolo. Si ottiene sottraendo il valore più basso del carattere da quello massimo presente nel collettivo. Per esempio, se in una classe liceale abbiamo rilevato le altezze in cm di 5 studenti

170, 174, 168, 179, 172,
il range, dato dalla differenza tra il massimo (179) e il minimo (168), è pari a 11 cm.
Questo indicatore ci dice che nel collettivo c’è una variabilità tra il più alto e il più basso di 11 cm, ma non fornisce alcuna altra informazione.

In generale, tuttavia, non è un buon indice di variabilità in quanto risente di eventuali valori anomali che possono essere tali perché influenzati da fattori eccezionali. Ad esempio, se si vuole sintetizzare la variabilità delle piogge in una data località nel corso di un anno, il campo di variazione terrebbe conto anche di un’unica eccezionale pioggia di particolare intensità. Si preferiscono quindi altri indicatori più adatti per evitare la considerazione di un valore chiaramente distante dalle altre osservazioni disponibili.

3.10 compila tabelle di frequenza;
3.11 individua quesiti e problemi da informazioni e temi, li sviluppa con modalità matematiche e statistiche;
3.12 confronta percezioni di senso comune con dati statistici (numero di immigrati in Italia ed Europa…);
3.13 individua parole chiave e parametri per ricavare informazioni rispetto ad uno scopo;
3.14 registra e rintraccia informazioni con supporti informatici, seguendo istruzioni (tabelle, foglio elettronico, internet);

3.15 organizza una ricerca su piccolo campione, ne pianifica le fasi ed elabora e rappresenta i risultati.

4.1 Legge, scrive, rappresenta dati espressi con diverse notazioni; converte in notazioni equivalenti; distingue dati assoluti e relativi;

Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia, etc., si trovano spesso a doversi confrontare con misurazioni di grandezze espresse da numeri molto grandi o da numeri molto piccoli. Infatti, si sa che:
 il raggio della Terra è circa 700 000 000 m;
 la velocità della luce nel vuoto è 299 790 000 m/s;
 un globulo rosso ha il diametro di 0,000007 m.
I primi due numeri sono “molto grandi”, mentre l’ultimo è “molto piccolo” e operare con numeri simili, non è affatto agevole.
Per renderci conto di ciò, consideriamo una lamina rettangolare di dimensioni b = 0,00000006 m e h = 0,0000002 m e calcoliamone l’area:
A=b∙ℎ=0,00000006∙0,0000002=0,000000000000012 mq

Come si può notare, per scrivere il risultato di un’operazione tra due numeri in questo caso “molto piccoli”, è necessario fare particolare attenzione in quanto, l’eccessiva quantità di cifre, è facile commettere degli errori.
Per risolvere questo problema, si preferisce utilizzare una scrittura compatta che permette di scrivere i tali tipologie di numeri in forma più agevole. Tale scrittura prende il nome di notazione scientifica.

Definizione: Un numero a è scritto in notazione scientifica se si presenta nella forma:
a=k∙10n
dove k è un numero decimale tale che 1≤k<10 ed n è un numero intero.
Esempio: I numeri 3,5∙107 e 8,9∙10−5 sono scritti in notazione scientifica, mentre i numeri 0,5∙103 e 11,3∙10−8 non sono scritti in notazione scientifica, ma in notazione esponenziale.

“Come trasformare un numero in notazione scientifica?”
Consideriamo la misura del diametro del globulo rosso, ovvero 0,000007 m. Per esprimere tale misura in notazione scientifica basta considerarne la sua frazione generatrice, ovvero:
0,000007=7/1000000=7/106=7∙10−6 .

Allo stesso modo il numero 0,000000026 viene scritto in notazione scientifica come segue:
0,000000026=2,6/100000000=2,6/108=2,6∙10−8
Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore 2,6 anziché 26, in quanto il numero k deve essere compreso tra 1 e 9.
Notiamo inoltre che a numeri “piccoli”, corrisponde una potenza di dieci con esponente negativo.

Regola pratica per scrivere un numero in notazione scientifica

Si consideri il numero decimale a. Bisogna contate il numero n di posti di cui si deve spostare la virgola al fine di ottenere un numero k tale che 1≤k<10. Se il numero decimale a è maggiore o uguale ad 1, esso verrà scritto in notazione scientifica come:
a=k∙10n
se il numero decimale a è compreso tra 0 e 1, esso verrà scritto in notazione scientifica come:
a=k∙10−n

Consideriamo la misura del raggio della Terra, ovvero 700 000 000 m. La sua espressione in notazione scientifica sarà:
700 000 000=7∙108
Allo stesso modo il numero 340 000 000 000 viene scritto in notazione scientifica come segue:
340 000 000 000=3,4∙1011
Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore 3,4 anziché 34, in quanto il numero k deve essere compreso tra 1 e 9.
Notiamo inoltre che a numeri “grandi”, corrisponde una potenza di dieci con esponente positivo.
Esercizio guidato: Esprimere in notazione scientifica i seguenti numeri
 780 000 000 000 000=7,8∙10…
 423 000 000 000=4,23∙10…
 76 000 000 000 000=..… ∙..…
 0,00000000098=9,8∙10…
 0,0000045=4,5∙10…
 0,00000987=

Esercizio: Quale tra i seguenti numeri non è scritto in notazione scientifica?
 5,67∙10−12
 4,28∙108
 10,3∙10−2
 9,8∙107

Riprendendo il problema della lamina rettangolare, le sue dimensioni in notazione scientifica vengono scritte come: b=6∙10−8 ℎ=2∙10−7
L’area sarà quindi:
A=b∙ℎ=6∙10−8×2∙10−7=12∙10−15= 1,2∙10−14 
Com’è possibile vedere, utilizzando le note proprietà delle potenze, si compie l’operazione in maniera molto agevole e con basse possibilità di errore.
Esercizio: Determinare l’area di una lamina di ferro quadrata avente lato di misura 0,00000000021.

4.2 descrive l’ordine di grandezza anche con notazione esponenziale; uniforma ordini di grandezza di una serie di dati;

Spesso, nel trattare i numeri “molto grandi” o “molto piccoli”, non è importante conoscere la misura con precisione, ma basta conoscere “quanto è grande”, cioè l’entità della sua grandezza. Per fare ciò si introduce il seguente concetto.
Definizione: Dato un numero, si definisce ordine di grandezza (abbreviato con la sigla o.d.g.), la potenza di 10 più vicina al numero.
Per determinare l’ordine di grandezza di un numero è conveniente effettuare i seguenti passi:
 si scrive il numero dato in notazione scientifica k∙10n;
 se k<5 l’ordine di grandezza è 10n, mentre se k≥5 l’ordine di grandezza è 10n+1.
Esempio: Determinare l’ordine di grandezza dei numeri 0,000024 e 97000000000.
Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica:
0,000074=7,4∙10−5 470 000 000 000=4,7∙1011
L’o.d.g. del primo numero è 10−4 in quanto il numero 7,4 è maggiore di 5; mentre l’o.d.g del secondo numero è 1011 in quanto il numero 4,7 è minore di 5.
Esercizio: Determinare l’ordine di grandezza dei seguenti numeri

126 000 000 0,0000098 7 000 000 0,0000000027

4.3 approssima dati all’ordine di grandezza più opportuno rispetto alla situazione;
4.4 individua costanti e variabili, variabili dipendenti e indipendenti;
4.5 interpreta tabelle e grafici, anche con dati di grande ampiezza;
4.6 classifica secondo criteri diversi; aggrega e disaggrega dati parziali ricavandone altri;
4.7 sintetizza un insieme di dati, cogliendone i valori critici;
4.8 individua e descrive regolarità, eventuali relazioni matematiche, periodicità;

4.9 individua e calcola medie, mode e mediane;

La media aritmetica di un insieme di numeri, o di dati raccolti, si calcola addizionando i numeri, o dati, e dividendo la loro somma per il numero totale degli elementi dell’insieme, cioè per il numero totale dei dati o delle unità statistiche.
Dato l’insieme formato dai numeri (3, 8, 5, 7, 10) la loro media aritmetica sarà uguale a (3+8+5+7+10) / 5 = 33/5= 6,6.

La moda è il dato che si presenta più volte, cioè che ha la frequenza assoluta maggiore.
Es tra i dati 4, 5, 2, 8, 4, 2, 10, 9, 4 ; la moda è 4 che è presente tre volte, cioè che ha frequenza assoluta 3.

La mediana di un insieme di numeri, o di dati, è il numero che si trova al centro degli elementi dell’insieme messi in ordine crescente(dal più piccolo al più grande).
Possono capitare due situazioni:
a) il numero degli elementi è dispari ad es. 4, 3, 6, 5, 8,
Messi in ordine crescente 3, 4, 5, 6, 8,
La mediana è il numero 5, perché ha due elementi a sinistra e due a destra di se.
b) il numero degli elementi è pari ad es 4, 9, 3, 6, 5, 8
Messi in ordine crescente 3, 4, 5, 6, 8, 9
Non c’è nessun numero al centro perché tre sono da una parte e tre dall’altra, allora la mediana si calcola facendo la media aritmetica dei due numeri a destra e a sinistra del centro
Nel nostro caso abbiamo 5+6/2= 11/2=5,5

4.10 utilizza mode, medie, mediane, scarti per confrontare insiemi diversi di dati demografici e socio-economici; valuta la loro efficacia come indicatori;
4.11 comprende il significato di termini specifici di applicazione statistica (reddito/prodotto nazionale e pro- capite…); comprende gli algoritmi sottesi ai parametri statistici, valuta la loro efficacia come indicatori di benessere sociale; analizza e individua altri indicatori;
4.12 rappresenta semplici funzioni di proporzionalità diretta e inversa sul piano cartesiano;

4.13 classifica eventi su basi probabilistiche;

Nel linguaggio corrente si sentono spesso frasi del tipo: <<è probabile che fra poco piova>>; <>; <<è molto probabile che nel 2000 si costruiscano stazioni extraterrestri>>; <<è probabile che l’incendio sia d’origine dolosa>>.

Utilizziamo frequentemente il termine <<probabilità>> quando ci riferiamo a situazioni incerte, a fenomeni che possono o non verificarsi, ma nel linguaggio comune il concetto di probabilità é per lo più generico.

Tale concetto è associato a quello d’evento aleatorio, intendendo distinguere, in questo modo, gli eventi certi, che si verificano sicuramente, da tutti quegli eventi il cui verificarsi dipende esclusivamente dal caso, detti appunto eventi aleatori o casuali. Ad esempio, un evento certo è quello di estrarre una pallina rossa da un’urna che contiene esclusivamente palline rosse. Esistono anche eventi definiti impossibili, perché non si verificheranno mai. Ad esempio, estrarre una pallina rossa da un’urna che contiene solo palline verdi è un evento impossibile. Gli eventi aleatori sono, essenzialmente, eventi incerti e possibili. Ad esempio, l’estrazione di una pallina rossa da un’urna che contenga palline rosse e bianche è un evento aleatorio; nel lancio di una moneta il fatto che si presenti la faccia contrassegnata dalla <> è un evento aleatorio, come anche l’estrazione di un asso da un mazzo di carte. Nell’ambito degli eventi aleatori, si possono distinguere eventi che hanno maggiori possibilità di verificarsi rispetto ad altri. Il calcolo delle probabilità cerca di formulare delle valutazioni numeriche della possibilità di verificarsi di tali eventi detti <> o <>

Consideriamo i seguenti problemi.

Se lanciamo una moneta <> e chiediamo a qualsiasi persona qual è la probabilità di ottenere <>, si ha la risposta: <>.Si preferisce affermare che la probabilità di avere <> è ½.

Estraiamo a caso una carta da un mazzo di 40 carte (dopo averle ben mescolate) e chiediamo d’indicare la probabilità che la carta estratta sia di fiori. Il nostro interlocutore sapendo che delle 40 carte, 10 sono di fiori, dirà: <>.

Da questi due semplici esempi si può vedere che è spontanea la seguente definizione, data da Laplace, di probabilità secondo la concezione classica:

La probabilità P (E) di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero dei casi possibili, giudicati egualmente possibili.

matematico standard l

La probabilità è un numero razionale p compreso fra 0 e 1: 0< p < 1

Il numeratore m è il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento e quindi è minore, o al più eguale, al numero n di tutti i casi possibili, che è al denominatore. In particolare:

se m=0, ossia se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell’evento, l’evento è detto impossibile e la sua probabilità è nulla: P (E) =0; se m=n, ossia se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell’evento, l’evento è detto certo e la sua probabilità è 1: P(E)=1.

Una delle difficoltà della probabilità classica s’incontra nel calcolo del numero dei casi possibili e dei casi favorevoli quando i casi sono molto numerosi; tale calcolo è addirittura impossibile se si debbono valutare insiemi infiniti.

4.14 analizza la probabilità teorica e statistica di alcuni eventi, confronta con le percezioni comuni;

La frequenza e la probabilita’ sono due concetti del tutto diversi fra loro:
la probabilita’ va calcolata “a priori” cioe’ prima che l’evento accada,
la frequenza va calcolata “a posteriori” e dopo un numero congruo di prove, cioe’ dopo che gli eventi sono accaduti

Anche la frequenza, come la probabilita’, e’ un numero compreso fra 0 ed 1, pero’ la frequenza 0 non implica che l’evento sia impossibile come la frequenza 1 non implica necessariamente che l’evento sia certoAd esempio se lancio tre volte una moneta ed ottengo 3 volte testa la frequenza di uscita di testa sara’ 1 e la frequenza di uscita di croce sara’ 0 ma l’evento “uscita di testa” non e’ certo come non e’ impossibile l’evento “uscita di croce”

una legge che collega strettamente la frequenza alla probabilita’ classica:
Legge dei grandi numeri
All’aumentare del numero delle prove fatte il valore della frequenza tende al valore teorico della probabilita’

Il fatto che la frequenza, all’aumentare del numero delle prove fatte, tenda al valore della probabilita’ classica ci fa pensare che in fenomeni in cui la probabilita classica non e’ applicabile sia possibile considerare la frequenza di eventi gia’ accaduti e considerarla come probabilita’ di eventi futuri
Cioe’ in eventi in cui non si puo’ applicare la probabilita’ classica, ma si possano fare numerose prove possiamo considerare la frequenza degli eventi gia’ accaduti come probabilita’ per gli eventi dello stesso tipo che potranno accadere.
In tale caso parleremo di probabilita’ statistica

definizione:
La probabilita’ statistica di un evento casuale (aleatorio) e’ un numero che esprime la frequenza relativa dell’evento in un gran numero di prove precedenti tutte fatte nelle stesse condizioni

Esempio: per costruire le tabelle di probabilita’ di vita e di morte che usano le assicurazioni sulla vita si calcolano le frequenze dei decessi relativamente alle varie fasce di eta’ consultando gli archivi anagrafici comunali

Secondo la teoria soggettiva:
la probabilita’ soggettiva e’ la misura del grado di fiducia che un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento in base alle sue conoscenze

Dalle critiche alla definizione classica di probabilità, anche in conseguenza dei progressi delle scienze sperimentali, si sviluppò una nuova concezione della probabilità: la concezione frequentista, che si può applicare quando si possono eseguire tante prove quante si vogliono sull’evento, oppure sono disponibili tavole con i risultati di rilevazioni statistiche relative a un certo fenomeno (ad esempio, le tavole di mortalità e di sopravvivenza).

La concezione frequentista è basata sulla definizione di frequenza relativa di un evento.Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l’evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate:

dove 0 £ £ 1

La frequenza varia al variare del gruppo delle prove eseguite, ma, fatto interessante, è stato costatato che se il numero di prove è sufficientemente alto, il rapporto k/n tende a stabilizzarsi. Questo fatto era già stato costatato da alcuni demografi nel diciassettesimo e diciottesimo secolo su fenomeni quali frequenze di nascite maschili e frequenze di decessi in una stessa popolazione. Inoltre, per fenomeni di cui è possibile calcolare la probabilità con la concezione classica, la frequenza, al crescere delle prove, <>, generalmente, ad avvicinarsi alla probabilità calcolata a priori.

 

definizione frequentista di probabilità per eventi ripetibili: la probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove ritenuto <> elevato.

In generale non si può dire quante prove siano necessarie, perché il numero delle prove dipende dal fenomeno in esame. La frequenza, calcolata in un gran numero di prove, permette di prevedere i risultati di prove future eseguite nelle stesse condizioni. Il campo di applicazione della concezione frequentista è molto vasto, in quanto la definizione può essere applicata a fenomeni dei quali si posseggano dati statistici riguardanti fenomeni passati che si sono verificati in condizioni analoghe. Ad esempio, si potranno calcolare, per una data popolazione, la probabilità di morte o di sopravvivenza degli individui o la probabilità di nascita di maschi o di femmine. Si hanno pure importanti applicazioni nella medicina, nella psicologia, nell’economia, nella meccanica quantistica e, in generale, in tutte le scienze per le quali si possono utilizzare metodi statistici. Le probabilità calcolate sia con la concezione classica, sia con la concezione frequentista, sono dette probabilità oggettive per distinguerle dalle probabilità valutate secondo la concezione soggettiva.

4.15 distingue campione ed universo statistico; valuta la rappresentatività di un campione, l’attendibilità di un sondaggio;

4.16 ragiona evidenziando relazioni e sa schematizzarle graficamente;
4.17 fa emergere dati a partire dalla descrizione di un fenomeno o di una situazione; costruisce problemi da tematiche d’attualità, cerca soluzioni originali;
4.18 individua collegamenti fra dinamiche di ampio respiro (occupazione, natalità, immigrazione…); estrapola dati con modalità matematico-statistiche;
4.19 usa dati statistici per discutere stereotipi e pregiudizi (genere, provenienza…);
4.20 individua tendenze e fa previsioni;
4.21 svolge ricerche e presenta i risultati usando modalità di rappresentazione proprie della matematica;
4.22 utilizza strumenti tecnologici, anche multimediali, per raccogliere, presentare analisi, sintesi, ricerche (fogli elettronici, data base, diapositive, ipertesti..);
4.23 svolge azione di supporto e spiegazione tra pari rispetto a procedure e contenuti.