Ellisse nel piano cartesiano: la sua equazione canonica è X2/a2 + Y2/b2 = 1

ellisse nel piano cartesiano
CLICCA SULL'IMMAGINE

La parola ellissi si usa anche nel linguaggio ed ha questo significato [dal lat. ellipsis, gr. ἔλλειψις «mancanza, omissione», derivato di ἐλλείπω «omettere»]. – Omissione, nella frase, di qualche parola che quindi resta sottintesa; è soprattutto frequente in proverbi e sentenze (per es., A buon intenditor [bastano] poche parole). Fonte Vocabolario Treccani

ELLISSE NEL PIANO CARTESIANO. 

Dati due punti F1 e F 2 , si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti P del piano per i quali `e costante la somma delle distanze da F 1 e F 2 , che vengono detti fuochi dell’ellisse.

Se F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse per ogni punto P dell’ellisse si ha che la somma delle distanze di un punto dai fuochi è costante.

 
FORMULE ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE X.

EQUAZIONE CANONICA O NORMALE

dove a>b e c2 = a2 – b2

ellisse nel piano cartesiano

VERTICI  A1(a;0) A2(-a;0) B1(0;b) B2(0;-b)  LUNGHEZZA ASSE MAGGIORE  A1A2=2a  LUNGHEZZA ASSE MINORE B1B2=2b  

FUOCHI F1(c;0) F2(-c;0) con c<a  FORMULA ECCENTRICITÀ  e=c/a  e = c/a = √a2 – b2  /a   dove 0<e<1

L’eccentricità è una variabile che ci permette di valutare quanto l’ellisse è schiacciata sull’asse maggiore. Consideriamo il valore estremo e = 0. Dunque avremo che    e = c/a = √a2 – b2  /a = 0    da cui segue che √a2 – b2  = 0   Per essere verificata l’uguaglianza deve essere  a2 – b2 = 0 cioè  a2 = be quindi l’equazione canonica dell’ellisse diventa diventa  X2/a2 + Y2/a2 = 1 semplificando X2 + Y2 =a2 che è l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e raggio a. Se l’eccentricità ha un valore molto vicino allo zero è poco schiacciata sul semiasse maggiore, cioè è quasi una circonferenza, se al contrario più si avvicina al valore 1 allora più è schiacciata sul semiasse maggiore.

Consideriamo un’ellisse con centro nell’origine e fuochi sull’asse delle ascisse.

I punti A1, A2, B1, B2 sono detti “vertici” dell’ellisse.

A1A2 è l’ “asse maggiore” B1B2 è l’ “asse minore”; A1 O = A2 O è il semiasse maggiore e B1 O = B2 O è il semiasse minore.

ELLISSE CON I FUOCHI SULL’ASSE DELLE Y.

Se b > a allora b2 > a2

Pertanto avremo c2 = b2 – a2

I Fuochi si trovano sull’asse delle Y e hanno coordinate

F1 ( 0 ; + c ) e F2 ( 0 ; – c )

ellisse nel piano cartesiano

I Vertici hanno coordinate

A ( +a ; 0 ) A1 ( -a ; 0 ) 

B ( 0; + b ) B1 ( 0; – b ) 

La lunghezza dell’asse maggiore è BB1=2b

La lunghezza dell’asse minore è AA1=2a

L’eccentricità ha la formula

e=c/b con 0<e<1

e = c/b = √b2 – a2  /b

NOTA BENE: SI DEVONO FARE I CALCOLI IN MODO CHE A SECONDO MEMBRO CI SIA 1.