Monomi e operazioni: coefficiente e parte  letterale, applicazione delle regole della moltiplicazione di numeri relativi e delle regole delle potenze.

monomi

Monomi. Definizioni.

UN’ESPRESSIONE LETTERALE IN CUI NUMERI E LETTERE SONO LEGATI  DALLA SOLA MOLTIPLICAZIONE SI CHIAMA MONOMIO

-2 abc

+5 a2b3 sono monomi 

+7 ab – 3 bc non è un monomio

PERCHÉ C’È IL SEGNO MENO TRA DUE MONOMI SI CHIAMERÀ BINOMIO.

UN MONOMIO SI DICE RIDOTTO IN FORMA NORMALE QUANDO È  SCRITTO COME PRODOTTO DI UN SOLO FATTORE NUMERICO E DI POTENZE  LETTERALI CON BASI DIVERSE. 

+4 abca2c4b

RIDOTTO IN FORMA NORMALE SARÀ 

+4 a3b3c5 

REGOLA: PER RIDURRE IN FORMA NORMALE: 

A ) MOLTIPLICARE TRA LORO I FATTORI NUMERICI;  

B ) MOLTIPLICARE LE POTENZE CON LA STESSA BASE.

Lessico.

LA PARTE NUMERICA DEL MONOMIO RIDOTTO A FORMA NORMALE SI  CHIAMA COEFFICIENTE E IL COMPLESSO DELLE LETTERE NE COSTITUISCE LA PARTE  LETTERALE. 

SE IL COEFFICIENTE DEL MONOMIO È ZERO IL MONOMIO SI DICE  NULLO. 0ab = 0

DUE O PIÙ MONOMI CHE HANNO PARTE LETTERALE IDENTICA SI  DICONO SIMILI. -3 a2b5 ¾ a2b5 +6 a2b5 

DEFINIZIONE DUE MONOMI SIMILI CHE HANNO COEFFICIENTE OPPOSTO SI DICONO  MONOMI OPPOSTI. +4 a -4 a 

QUANDO IL MONOMIO È RIDOTTO A FORMA NORMALE, L’ESPONENTE  DI UNA SUA VARIABILE CI INDICA IL GRADO DEL MONOMIO RISPETTO A QUELLA  VARIABILE. IL GRADO COMPLESSIVO DI UN MONOMIO È LA SOMMA DEGLI  ESPONENTI DELLA PARTE LETTERALE.

-8 a2b3c5 HA GRADO 5 RISPETTO c E GRADO COMPLESSIVO 10 

I MONOMI DI GRADO 0 PRESENTANO SOLO IL  COEFFICIENTE E PERTANTO SONO NUMERI RAZIONALI. 

-5      +2       -5/6 

POICHÉ IL MONOMIO È UN’ESPRESSIONE LETTERALE,  POSSIAMO CALCOLARE IL SUO VALORE QUANDO ALLE SUE VARIABILI SOSTITUIAMO DEI  NUMERI.  

ESEMPIO CALCOLA IL VALORE DEL MONOMIO 3X 4Y 5 Z PER I VALORI X = −3, Y = 5 E  Z = 0. SOSTITUENDO I VALORI ASSEGNATI OTTENIAMO 3 · (−3) 4 · 5 5 · 0 = 0  ESSENDO UNO DEI FATTORI NULLO.

Operazioni

L’ADDIZIONE DI DUE MONOMI SI INDICA CON LO STESSO SIMBOLO DELL’ADDIZIONE  TRA NUMERI; I SUOI TERMINI SI CHIAMANO ADDENDI E IL RISULTATO SI CHIAMA  SOMMA. 

LA SOMMA DI DUE MONOMI SIMILI È UN MONOMIO SIMILE AGLI ADDENDI E  AVENTE COME COEFFICIENTE LA SOMMA DEI COEFFICIENTI. 

-3 a5b3 +7 a5b3 = +4 a5b3 

PER SOTTRARRE DUE MONOMI SIMILI SI AGGIUNGE AL PRIMO L’OPPOSTO DEL  SECONDO. 

+7 abc2 – (-4 abc2) = +7 abc2 +4 abc2 = + 11 abc2

SOMMA ALGEBRICA (video youtube ) in sostanza è la  sottrazione e l’addizione di monomi simili.

ADDIZIONE DI MONOMI NON SIMILI  

Calcoliamo la seguente addizione:  

7a 3 b 2 − 5a 2 b 3 + a 3b 2 =

I monomi addendi non sono tutti tra loro simili; lo sono però il primo e il terzo, che  possiamo sommare.  

7a 3 b 2 − 5a 2 b 3 + a 3b 2 = 8a 3 b 2 − 5a 2 b

L’ESPRESSIONE COSÌ OTTENUTA È LA SOMMA RICHIESTA. 

L’OPERAZIONE DI ADDIZIONE TRA MONOMI HA COME RISULTATO UN MONOMIO  SOLO SE GLI ADDENDI SONO MONOMI SIMILI; IN CASO CONTRARIO LA SOMMA  VIENE EFFETTUATA RIDUCENDO I MONOMI SIMILI E LASCIANDO INDICATA  L’ADDIZIONE TRA GLI ALTRI MONOMI.

Moltiplicazione.

DEFINIZIONE IL PRODOTTO DI DUE MONOMI È IL MONOMIO AVENTE PER  COEFFICIENTE IL PRODOTTO DEI COEFFICIENTI E PER PARTE LETTERALE IL  PRODOTTO DELLE PARTI LETTERALI DEI MONOMI FATTORI. 

LA MOLTIPLICAZIONE TRA MONOMI SI FA MOLTIPLICANDO PRIMA I COEFFICIENTI  NUMERICI E DOPO LE PARTI LETTERALI:  

A ) NELLA MOLTIPLICAZIONE TRA I COEFFICIENTI USIAMO LE REGOLE NOTE DELLA  MOLTIPLICAZIONE TRA NUMERI RAZIONALI;  

B ) NELLA MOLTIPLICAZIONE TRA LE PARTI LETTERALI APPLICHIAMO LA REGOLA DEL  PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE. 

-4 a2b3c * ( +3 ab2) = – 12 a3b5c

Divisione.

ASSEGNATI DUE NUMERI RAZIONALI D1 E D2 CON D2 ≠ 0ESEGUIRE LA DIVISIONE D1 : D2 SIGNIFICA DETERMINARE IL NUMERO Q CHE  MOLTIPLICATO PER D2 DÀ D1.  

NELL’INSIEME Q LA CONDIZIONE D2 ≠ 0 È SUFFICIENTE PER AFFERMARE CHE Q  ESISTE ED È UN NUMERO RAZIONALE.

  DEFINIZIONE ASSEGNATI DUE MONOMI M1 E M2 CON M2 DIVERSO DAL MONOMIO  NULLO, SE È POSSIBILE DETERMINARE IL MONOMIO Q TALE CHE M1 = Q · M2, SI  DICE CHE M1 È DIVISIBILE PER M2 E Q È IL RISULTATO. 

IL QUOZIENTE DI DUE MONOMI È COSÌ COMPOSTO:  IL COEFFICIENTE È IL QUOZIENTE DEI COEFFICIENTI DEI MONOMI DATI;  LA PARTE LETTERALE HA GLI ESPONENTI OTTENUTI SOTTRAENDO GLI ESPONENTI  DELLE STESSE VARIABILI.  

NOTA: SE LA POTENZA DI ALCUNE LETTERE RISULTA NEGATIVA IL RISULTATO DELLA  DIVISIONE È UN MONOMIO FRATTO. 

-8 a3b4c5: ( +4 a3 b2c3) = -2b2c2

RICORDA a0 = 1 

+ ¾ a3b5 : ( -9/16 ab2) = +3/4 * ( – 16/9 ) a2b3 = – 4/3 a2b3

+16 a3b6: ( -2 a4 b2) = – 8 a-1b4 = -8 b4/ a 

PERCHÉ NELLA PARTE LETTERALE b4/ a CÈ LA DIVISIONE, SI TRATTA DI UN MONOMIO FRATTO, I FATTORI SONO b4  e a -1 .

DEFINIZIONE LA POTENZA DI UN MONOMIO È UN MONOMIO AVENTE PER  COEFFICIENTE LA POTENZA DEL COEFFICIENTE E PER PARTE LETTERALE LA POTENZA  DELLA PARTE LETTERALE 

( -2 a b3c2)3 = -8 a3b9c6

Massimo comun divisore.

DEFINIZIONE UN MONOMIO A SI DICE MULTIPLO DI UN MONOMIO B SE ESISTE UN  MONOMIO C PER IL QUALE SI HA A = B · C; IN QUESTO CASO DIREMO ANCHE CHE B  È DIVISORE DEL MONOMIO A.

DEFINIZIONE. IL MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD) TRA DUE O PIÙ MONOMI È IL  MONOMIO CHE, TRA TUTTI I DIVISORI COMUNI DEI MONOMI DATI, HA GRADO  MASSIMO. 

IL COEFFICIENTE NUMERICO PUÒ ESSERE UN QUALUNQUE NUMERO REALE: SE I  COEFFICIENTI SONO TUTTI INTERI È OPPORTUNO SCEGLIERE IL LORO MCD, SE NON  SONO INTERI È OPPORTUNO SCEGLIERE 1.

IL MCD DI UN GRUPPO DI MONOMI È IL MONOMIO CHE HA: 

A ) PER COEFFICIENTE NUMERICO IL MCD DEI VALORI ASSOLUTI DEI COEFFICIENTI  DEI MONOMI QUALORA QUESTI SIANO NUMERI INTERI, SE NON SONO INTERI SI  PRENDE 1; 

B ) LA PARTE LETTERALE FORMATA DA TUTTE LE LETTERE COMUNI AI MONOMI  DATI, CIASCUNA PRESA UNA SOLA VOLTA E CON L’ESPONENTE MINORE CON CUI  COMPARE.

Minimo comune multiplo.

DEFINIZIONE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm) DI DUE O PIÙ MONOMI È IL  MONOMIO CHE, TRA TUTTI I MONOMI MULTIPLI COMUNI DEI MONOMI DATI, HA IL  GRADO MINORE.  

IL COEFFICIENTE NUMERICO PUÒ ESSERE UN QUALUNQUE NUMERO REALE: SE I  COEFFICIENTI SONO TUTTI INTERI È OPPORTUNO SCEGLIERE IL LORO MCM, SE NON  LO SONO È OPPORTUNO SCEGLIERE 1.

IL mcm DI UN GRUPPO DI MONOMI È IL MONOMIO CHE HA:  

A ) PER COEFFICIENTE NUMERICO IL mcm DEI VALORI ASSOLUTI DEI COEFFICIENTI  DEI MONOMI QUALORA QUESTI SIANO NUMERI INTERI, SE NON SONO INTERI SI  PRENDE 1;  

B ) LA PARTE LETTERALE FORMATA DA TUTTE LE LETTERE COMUNI E NON COMUNI  AI MONOMI DATI, CIASCUNA PRESA UNA SOLA VOLTA E CON L’ESPONENTE  MAGGIORE CON CUI COMPARE.

Dati per esempio  x2y e xy2z

calcoliamo MCD e mcm.   MCD (x2y, xy2z) = xy;  mcm (x2y, xy2z) = x2y 2z.  

Moltiplichiamo ora MCD e mcm.  Abbiamo:     xy · x2y2z = x3y3z. 

Moltiplichiamo ora i monomi dati.  Abbiamo:   (x2y) · (xy2z) = x3y 3z. 

Proprietà Dati due monomi, il prodotto tra il loro massimo comune divisore e il loro  minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i monomi stessi.

Espressioni.

Consideriamo l’espressione letterale  − 1 2 a6b3: (a5b) + (−2ab) · 1 2 b + b + 5ab2 =

Nel primo passaggio possiamo fare la divisione e la moltiplicazione -12 ab2-24 ab2 + b +5 a b2

Possiamo sommare i monomi simili e abbiamo  -31 ab2 + b