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Operazioni coi polinomi. Un polinomio è una somma algebrica di due o più monomi, essi sono irriducibili quando tutti i monomi simili, che ne fanno parte, sono stati sommati. Binomio, trinomio, quadrinomio, poi polinomio di 5 termini, di 6 termini e così via sono i loro nomi.
Operazioni coi polinomi: grado e ordine di un polinomio.
Il grado assoluto di un polinomio e’ uguale al grado del suo monomio di grado piu’ alto. Es a3 + ba4 + c5 hagrado assoluto 5
Il grado relativo è rispetto ad un fattore dei monomi che ne fanno parte. Es rispetto ad a il polinomio ha grado 4.
Un polinomio dove i gradi sono in ordine crescente o decrescente rispetto una lettera viene detto polinomio ordinato secondo la lettera.
Es: 4a3+6a2+4a+5 è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a.
5 + 4a +6a2 +4a3 è ordinato secondo le potenze crescenti della lettera a.
a3+2a2b+5ab2+6b3
il polinomio e’ ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera a e secondo le potenze crescenti della lettera b.
Un polinomio puo’ essere ordinato senza sembrarlo; esempio: a3+a+1
non sembra ordinato ma se lo scrivo: a3+0a2+a+1
allora e’ ordinato, perchè ho considerato anche il termine di secondo grado con coefficiente zero.
Operazioni coi polinomi: somma e differenza.
SOMMA FRA POLINOMI: si sommano eventuali monomi simili che sono presenti nei polinomi da sommare e quindi si ha il polinomio somma.
(2a + 3b) + (4a – 5b) =
= 2a + 3b + 4a – 5b =
= 6a – 2b
DIFFERENZA TRA POLINOMI: si scioglie la parentesi, cioè si cambia il segno ad ogni monomio che è dentro la parentesi, e quindi calcoliamo la somma fra eventuali monomi simili.
(3a + 4b) – (2a + b) =
= 3a + 4b – 2a – b =
= a – 3b
Operazioni coi polinomi: moltiplicazione e divisione per un monomio.
MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO: per la proprietà distributiva della moltiplicazione basta moltiplicare il monomio per ogni termine del polinomio.
2a2b·(a3 – 2a2b + 3ab2 -b3) =
= 2a5b – 4a4b2 + 6a3b3 – 2 a2b4
DIVISIONE DI UN POLINOMIO CON UN MONOMIO: tutti i termini del polinomio devono essere divisi per il monomio.
(-18a5b +12a4b2 -15a3b3) :(-3a3b)=
=6a2-4ab+5b2
Operazioni coi polinomi: moltiplicazione e divisione.
MOLTIPLICAZIONE TRA POLINOMI: basta moltiplicare tutti i monomi del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio.
(5a4-3a+2)(4a2-ab)=
=5a4·4a2+5a4·(-ab)+(-3a)·4a2+(-3a)·(-ab)+ (+2)·4a2+(+2)·(-ab)=
= 20a6-5a5b-12a3+3a2b+8a2-2ab
Il metodo che si può usare sempre per tutti i polinomi ordinati è simile all’algoritmo della divisione tra numeri, il metodo di Ruffini puo’ essere usato solo in alcuni casi.
Si utilizza l’algoritmo euclideo come per la divisione tra numeri oppure la regola di Ruffini, quando il polinomio si può scomporre nel prodotto di un binomio di primo grado per un polinomio inferiore di un grado, con l’avvertenza che il polinomio dividendo, ordinato secondo le potenza decrescenti dell’incognita, deve avere tutti i gradi decrescenti della parte letterale. Pertanto se qualcuno manca lo si inserisce con coefficiente zero.
La regola di Ruffini.
Paolo Ruffini ( Valentano in provincia di Viterbo 1765; Modena 1882 ) era laureato in Filosofia, Medicina e Chirurgia e Matematica. Insegnò matematica applicata e medicina nell’Università di Modena. La sua famosa regola è un’algoritmo ( un procedimento ) per la divisione di un polinomio in una variabile per un binomio di primo grado nella stessa variabile. Essa si basa sul principio di annullamento di un polinomio, cioè si deve trovare almeno un numero che è soluzione dell’equazione ottenuta uguagliando il polinomio a zero. Questa soluzione si ricerca partendo dai numeri +/- 1 e dalle combinazioni che si ottengono dividendo per essi il coefficiente di grado massimo del polinomio. Il monomio di primo grado per cui è divisibile il polinomio sarà ( x – la soluzione del polinomio ).