Prodotti notevoli: il risultato di alcune moltiplicazioni si ottiene rapidamente con l’uso di determinate regole che derivano dalle proprietà distributiva della moltiplicazione e dalle regole delle potenze che hanno la stessa base.

Prodotti notevoli: la moltiplicazione tra polinomi

Un operaio viene pagato 100 € l’ora, la prima settimana lavora 10 ore, la seconda 5 ore, la terza 20 ore e la quarta 15 ore, Quanto ha guadagnato al mese?

Prima soluzione sommo le ore che ha lavorato in un mese ( 10+ 5 + 20 + 15 ) = 50 e poi moltiplico per la paga oraria:

100 ( 10 + 5 + 20 + 15 ) = 100 x 50 = 5000 €

 

Seconda soluzione calcolo quanto l’operaio ha guadagnato in una settimana e poi sommo i guadagni, in pratica distribuisco il guadagno mensile in guadagni settimanali:

100 x 10 + 100 x 5 + 100 x 20 + 100 x 15 = 1000 + 500 + 2000 + 1500 = 5000

Per moltiplicare due polinomi si applica la proprietà distributiva.

Applichiamola al caso più semplice: 

a x ( b + c  ) = ab + ac 

a x ( b – c ) = ab – ac

La proprietà distributiva della moltiplicazione per una somma o per una differenza ha anche un’analoga proprietà geometrica.

EUCLIDE, ELEMENTI, LIBRO II. PROP. 1

” Date due rette, e l’una o l’altra di esse è secata in quanti mai si voglia segmenti, il rettangolo compreso dalle due rette è uguale ai rettangoli compresi dalla retta non secata e da ciascuno dei segmenti. “

In generale

x (y1 + y2 + … + yn) = x y1 + x y2 + … + x yn.

prodotti notevoli

Nella figura

Dati i segmenti A = BG

e BC Se BC = BD + DE + EC, allora

A x BC  =A (BD + DE + EC ) =A x BD + A x DE+ A x EC.

Prodotti notevoli: somma per differenza di un binomio

Il prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.

(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2

Prodotti notevoli: quadrato di un binomio

Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e + oppure – il doppio prodotto del primo termine per il secondo, se rispettivamente se i monomi sono concordi oppure discordi.

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

(ab)2=(ab)(ab)=a2abba+b2=a2-2ab+b2

(-ab)2= (-ab(-ab)=a2abba+b2=a2+2ab+b2.

(-a+b)2=(-a+b)(-a+b)=a2abba+b2=a2-2ab+b2

EUCLIDE, ELEMENTI, LIBRO II. PROP. 4

” Se una linea retta è secata a caso, il quadrato sulla retta totale è uguale sia ai quadrati sui segmenti che a due volte il rettangolo compreso dai segmenti. “

prodotti notevoli
Prodotti notevoli: cubo di un binomio

Il cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica tra il cubo del primo termine, il cubo del secondo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine ed il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine.

TARTAGLIA: i coefficienti di una potenza di un binomio.

Prodotti notevoli: quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio e’ uguale al quadrato del primo monomio piu’ il quadrato del secondo monomio piu’ il quadrato del terzo piu’ il doppio del prodotto del primo monomio per il secondo, piu’ il doppio del prodotto del secondo monomio per il terzo piu’ il doppio del prodotto del primo monomio per il terzo. 

(a+b+c)2=(a+b+c)·(a+b+c)= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2= a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc

Prodotti notevoli: cubo di un trinomio

Il cubo di un trinomio e’ uguale al cubo del primo monomio piu’ il cubo del secondo piu’ il cubo del terzo piu’il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo,piu’ il triplo prodotto del quadrato del primo per il terzo, piu’ il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu’il triplo prodotto del primo per il quadrato del terzo, piu’ il triplo prodotto del quadrato del secondo per il terzo piu’ il triplo prodotto del secondo per il quadrato del terzo, piu’ sei volte il prodotto del primo per il secondo per il terzo.

(a+b+c)3= (a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)

Sapendo che (a+b+c)·(a+b+c)=a2 +b2+c2 +2ab+2ac+2bc

Avremo: (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)·(a+b+c) =a3 + a2b + a2c + ab2 + b3 + b2c + ac2 + bc2 + c3 + 2a2b + 2ab2 + 2abc + 2a2c + 2abc + 2ac2 + 2abc + 2b2c + 2bc2 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc