Sistema  di numerazione binario e l’algebra ad esso connesso, venne creato il 15 marzo del 1679 da Gottfried Wilhelm von Leibnitz  . Esso è un esempio delle ricerche matematiche che al momento della scoperta non hanno applicazione pratica, come ad esempio le sezioni del cono con un piano non passante per il vertice, parabola, ellisse e iperbole, scoperte dal geometra greco Apollonio da Rodi e successivamente utilizzate per spiegare teorie astronomiche e traiettorie cinematiche.

Sistema di numerazione binario e I-Ching

sistema di numerazione binario

Nel 1701 un padre missionario invia a Leibniz una descrizione del sistema di consultazione sugli eventi futuri cinese I-Ching (il libro dei mutamenti le cui figure sono combinazioni di due soli elementi: le linee lunghe e quelle spezzate, equivalenti all’uno e allo zero) e fa notare la somiglianza tra la notazione cinese degli esogrammi descritti nel libro e la matematica binaria: così come ogni numero può essere espresso da una combinazione di 0 e di 1, ogni mutamento può essere codificato da una successione di linee intere e di linee spezzate.

Potenze di 10 e forma additiva di un numero.

100=1  101= 10  102=100  103=1000  104= 10000    105= 100000   106= 1000000 

eccetera, eccetera, eccetera …( e così seguita )

Si calcolano facilmente ( si scrive 1 seguito da tanti zeri quanto è l’esponente della potenza ) perché il numero 10 è la base del nostro sistema posizionale.
Possiamo scrivere un numero intero come somma di altri numeri in infiniti modi diversi, vediamo qualche somma ottenuta con numeri in ordine crescente:
Ad esempio 2570= 15+5+1250+1300+ oppure 65+5+250+150+100+500+1500 eccetera, eccetera

La FORMA ADDITIVA si ottiene scrivendo un numero come somma delle sue cifre moltiplicate per il valore delle loro posizioni. Ad esempio:

7.350.249= 9 + 40 + 200 + 0.000 + 50.000 + 300.000 + 7.000.000

A parole si può dire 9 unità, 4 decine, 2 centinaia, zero unità di migliaia, 5 decine di migliaia, 3 centinaia di migliaia, 7 unità di milioni

Forma additiva o polinomiale ordinata secondo le potenze di 10

Si può scrivere con le potenze di 10 in questo modo:

7.350.249 = 7 x 106 + 3 x 105 + 5 x 104+ 0 x 103 + 2x 102 + 4 101 + 9 x 100  

Forma additiva e numeri romani

La forma additiva può servire per passare da un numero a base 10 ad un numero romano. Ad esempio:

1489 = 1000 + 400 + 80 + 9

Se esiste ( c’è ) la cifra romana corrispondente alla quantità dell’addendo ( un numero che fa parte dell’addizione ) si mette, in caso contrario ( se non c’è ) si deve ottenere applicando le regole del sistema romano di numerazione.

1489 = 1000 + ( 500 – 100 ) + ( 50 ) + ( 10 ) + ( 10 ) + ( 10 ) + ( 10 – 1 )

MCDLXXXIX

Sistema di numerazione binario.

I dischi rigidi ( in inglese hard-disk ) dei computer sono divisi in microscopiche ( piccolissime che l’occhio nostro non può vedere ) parti metalliche che al passaggio della corrente possono essere magnetizzate ( un magnete è una calamita che attira il ferro ) oppure no.

Allo stato fisico magnetizzato corrisponde il segno uno 1, allo stato fisico non magnetizzato corrisponde il segno zero 0.

1 byte equivale a 8 bit

Bit e byte sono  importanti non solo per valutare la capienza di memorizzazione di un supporto informatico, ma anche per misurare la capacità di trasmissione dati tra due dispositivi. ( Fonte differenza tra )

Con una filza ( un segno scritto dopo l’altro ) di 1 e 0 si scrive l’informazione: alfanumerica ( parole e numeri ), i suoni, ( la musica ) , le fotografie, i film …

sistema di numerazione binario

I caratteri del sistema binario

Si utilizza un alfabeto costituito da due simboli: 0,1 ed ogni informazione singola è chiamata bit (BInary digiT). I bit vengono organizzate in word (parole) ovvero in stringhe più o meno lunghe strutturate come sequenze di byte (word di 8 bit ciascuna).

Il sistema di numerazione posizionale a base due ( binario ) usa solo due segni ( zero e uno ) il sistema posizionale a base dieci usa dieci segni ( 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ).

Nel nostro sistema il valore delle posizioni segue le potenze della base 10, nel sistema del computer il valore segue le potenze di due che sono:

20=1  21= 2  22= 4  23=8  24= 16    25= 32   26= 64 

eccetera, eccetera, eccetera …. ( e così seguita )

Un numero binario si scrive usando solo 0 ed 1 e si scrive:

101010012  

Si legge uno zero uno zero uno zero zero uno BINARIO. Ma quanto vale questo numero? Per saperlo dobbiamo scriverlo in forma additiva. A parole possiamo chiamare le posizioni così: unità, coppia, due coppie, quattro coppie, otto coppie, sedici coppie eccetera.

Forma additiva o polinomiale ordinata secondo le potenze di 2

Scriviamolo in forma additiva usando le potenze di 2 e poi calcoliamo:

101010012  = 1 x 20 + 0 x 21 + 0 x 22 + 1 x 23 + o x 24 + 1 x 25 + 0 x 26 + 1 x 2 =

 Sembra un calcolo lungo ma quando si incontra zero volte una potenza di due il risultato è zero e se ricordiamo i valori delle potenze di due il calcolo diventa facile anche perché il valore di una posizione si ottiene raddoppiando quella precedente.

101010012 = 1 + 0 + 0 + 8 + 0 + 32 + 0 + 128= 169

Torna ad algebra