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Arrotondamenti e approssimazioni si usano o se non interessa sapere esattamente il valore di un numero o di una quantità o di una grandezza, oppure quando un numero o una quantità presentano numerose cifre decimali. Arrotondamenti e approssimazioni sono indispensabili quando prendiamo una misura.
Arrotondamenti e approssimazioni. Esempi.
l testo di un problema o una situazione reale a volte non ci chiede una risposta esatta.
Se mi domandano quanto prendi di stipendio? Posso rispondere circa 1.000 €, anche se in realtà prendo 990 € oppure 1030 €.
Gli euro si approssimano ai centesimi: un chilo di carne costa 12,65 €, quanto costa un etto? Devo fare 12,65 € : 10 = 1,265 € siccome la moneta di millesimi di euro non esiste dovrò dire circa 1,30 € oppure circa 1,20 €.
In matematica per approssimare un numero si devono usare delle regole.
Arrotondamento di un numero naturale.
- se è minore di 5 allora lasciamo inalterata ( non la cambiamo, la riscriviamo tale e quale ) la cifra rispetto cui stiamo approssimando e sostituiamo ( sostituire, togliere una cosa e mettere un’altra ) tutte le cifre successive con degli zeri(approssimazione per difetto);
- se è maggiore di 5 allora aumentiamo di 1 la cifra rispetto cui stiamo approssimando e sostituiamo poi le rimanenti cifre con degli zeri (approssimazione per eccesso).
- se è uguale a 5 allora se non ci sono altre cifre si può approssimare sia per difetto che per eccesso, se ci sono altre cifre si guarda la cifra successiva e si applicano le regole di prima
Esempi.
Approssimiamo alla cifra delle decine e alla cifra delle centinaia il numero naturale 123.762
Approssimato alla cifra delle decine sarà 123.760 poiché la cifra successiva al 6 (decine) è un 2 quindi il 6 rimane inalterato ( tale e quale ).
Diremo 123.756 per difetto
Approssimato alla cifra delle centinaia sarà 123.800 in quanto la cifra delle centinaia (7) è seguita da un 6. Dobbiamo quindi aumentare le centinaia di 1 (7+1=8) e sostituire le cifre rimanenti con degli zeri.
Diremo 123.800 per eccesso
Consideriamo il numero 5.500 lo vogliamo approssimare alle migliaia. Il numero è proprio in mezzo a 5.000 e 6.000, quindi possiamo prendere 5.000 per difetto oppure 6.000 per eccesso.
Consideriamo il numero 5.400 lo vogliamo approssimare alle migliaia. Il numero è più vicino a 5.000 che a 6.000, quindi prendiamo 5.000 per difetto.
Consideriamo il numero 5.750 lo vogliamo approssimare alle migliaia. Il numero è più vicino a 6.000 che a 5.000, quindi prendiamo 6.000 per eccesso.
Esercizi.
(In verde le cifre significative, in blu la cifre “extra”, in rosso le cifre da ignorare.)
Arrotondare 12,5364 ai decimi
12,5364
Il risultato dell’arrotondamento: 12,5
Arrotondare 12,5776 ai decimi
12,5776
Il risultato dell’arrotondamento: 12,6
Arrotondare 1,5556 ai decimi
1,5556
Il risultato dell’arrotondamento:1,56
Arrotonda i seguenti importi all’unità di euro 3,49 € 2, 56 € 2, 49 € 3, 99 €
Approssimare: ai decimi, o ai centesimi o ai millesimi.
ESEMPIO: Approssimare ai centimetri significa che non si considerano tutte le lunghezze più piccole dei centimetri. Se la cifra dei millimetri è maggiore di 5 allora si toglie e il valore dei centimetri viene aumentato di uno e si ha un’approssimazione per eccesso ( eccedere, superare) . Se la cifra dei millimetri è minore di 5 allora si toglie e il valore dei centimetri rimane lo stesso o e si ha un’approssimazione per difetto ( difettare, mancare )
Il simbolo ≈ si legge circa, cioè quasi uguale
3,523 m ≈ 3,52 m 3,519 ≈ 3,52
3,525 può approssimarsi sia a 3, 52 che a 3,53
Traccia un segmento ( un pezzo ) di linea retta sul quaderno a caso, misurala con un righello oppure una squadra, e approssima la misura ai centimetri
Regola.
Una volta decisa la cifra rispetto cui effettuare l’approssimazione devi guardare la cifra successiva ( che viene dopo ) a destra.
1) se quella cifra è uguale a 0, 1, 2, 3, 4 allora lasciamo inalterata ( non la cambiamo, la riscriviamo tale e quale ) la cifra rispetto cui stiamo approssimando ed eliminiamo ( eliminare, levare ) tutte le cifre successive.
Abbiamo fatto una APPROSSIMAZIONE per DIFETTO; ( avere un difetto, mancare di qualcosa), il numero approssimato è più piccolo del numero iniziale.
Esempio: 2,824 approssimato ai centesimi viene 2,82 per difetto.
2) se la cifra a destra è 5, 6, 7, 8, 9 allora aumentiamo di 1 la cifra rispetto cui stiamo approssimando ed eliminiamo tutte le cifre successive.
Abbiamo fatto una APPROSSIMAZIONE per ECCESSO (eccedere, andare oltre, superare un limite) il numero approssimato è più grande del numero iniziale
Esempio: 2,827 approssimato ai centesimi viene 2,83 per eccesso
3) se la cifra a destra è 5
dopo il 5 non ci sono altre cifre allora si può approssimare sia per difetto che per eccesso.
Esempio: 3, 675 ai centesimi. Va bene sia 3,67 per difetto e sia 3,68 per eccesso.
dopo il 5 ci sono altre cifre allora si guarda la cifra successiva e si stabilisce se approssimare per difetto o per eccesso con le stesse regole del punto 1) e 2).
Esempio:
3,67549 ai centesimi viene 3,67 per difetto
3,67564 ai centesimi viene 3,68 per eccesso
Approssimazioni con la calcolatrice.
Calcoliamo 6 : 31 con la calcolatrice
Abbiamo come risultato
Prendiamo 0, 1 9 3 un decimo, nove centesimi e tre millesimi
Approssimiamo alla cifra dei decimi.
Guardiamo la cifra successiva: è un 9.
Dobbiamo aumentare la cifra in esame di 1, ossia dobbiamo approssimare la cifra dei decimi per eccesso, togliere tutte le cifre dai decimi in poi e riscrivere il numero approssimato come 0,2.
Diremo o,2 per eccesso
Approssimiamo ora alla cifra dei centesimi,
Guardiamo la cifra successiva: è un 3.
Dobbiamo fare un’approssimazione per difetto, ovvero cancellare tutte le cifre dai centesimi in poi lasciando le altre cifre così come sono, il numero approssimato è 0,19.
Diremo 0,19 per difetto.
Arrotondamenti e approssimazioni. Altri esercizi.
Soluzioni.