Concetto di insieme: il processo della classificazione

CLASSIFICARE significa dividere in classi, cioè in gruppi di elementi che hanno in comune certe caratteristiche ( qualcosa che distingue una cosa dall’altra, il carattere di una persona ) prefissate ( fissate, stabilite, dette prima ).

Una classificazione del Regno Animale.

concetto di insieme

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L’atto del classificare è alla base della matematica, perché permette di individuare delle “quantità”. Dalle quantità è poi possibile passare ai numeri e quindi contare.

concetto di insieme

 

Un uomo PRIMITIVO ( primo in ordine di tempo ) raggruppa le sue mucche, poi per ogni mucca fa una tacca ( un taglio) su un pezzo di legno, è questo il primo modo per contare.

Questo modo risulta difficile se il gruppo ( es: la mandria ) è composto da molti elementi ( es: le mucche ), quindi per contare gli oggetti l’uomo ha avuto un’idea  e associa alla quantità un SIMBOLO: così nascono i SISTEMI DI NUMERAZIONE.

CONCETTO DI INSIEME. DEFINIZIONE

Un INSIEME è definito solo se possiamo dire esattamente quali “cose” appartengono all’insieme e quali no. Le “cose” che appartengono a un certo insieme si chiamano ELEMENTI di quell’insieme.

Chiamiamo insieme una collezione, una raccolta, una totalità ben definita di oggetti detti elementi dell’insieme.

Le città: «Roma, Viterbo, Rieti, Latina, Frosinone» rappresentano  l’insieme  dei capoluoghi di provincia della regione Lazio.

«I calciatori della Roma» rappresentano un insieme. Un suo elemento è Pellegrini.

«Le città più belle d’Italia» non rappresentano invece un insieme, perché stabilire i suoi elementi è una scelta soggettiva.

Le vocali della lingua italiana: { a, e, i, o, u }

L’INSIEME è un ENTE PRIMITIVO, cioè un concetto semplice, intuitivo del quale non viene data una definizione rigorosa, indica una collettività di oggetti di qualunque natura.

Ogni COMPONENTE dell’INSIEME si dice ELEMENTO dell’insieme.

Anche l’elemento di un insieme è un ente primitivo.

CONCETTO DI INSIEME E VOCABOLI. I NOMI COLLETTIVI

Una pecora, tante un gregge
Un lupo, tanti un branco
Un uccello, tanti uno stormo
Un giocatore, tanti una squadra

Gli insiemi vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto: A B C D … mentre gli elementi che appartengono all’insieme vengono indicati con le lettere minuscole: a,b,c,d …

Appartenenza

Per indicare che un elemento appartiene ( fa parte ) ad un insieme si usa il simbolo di appartenenza e quindi si scrive a ∈ A e si legge: «a appartiene ad A», in caso contrario si scrive .
Quando si vuole indicare che un elemento non appartiene ad un insieme si utilizza il simbolo e quindi si scrive: b ∉ A e si legge: «b non appartiene ad A».

Un insieme si può rappresentare in tre modi:

Rappresentazione tabulare o estensiva o per elencazione. 

Per rappresentare un insieme per elencazione, se è possibile, si scrive la lettera maiuscola con la quale si vuole indicare l’insieme, seguita dal segno uguale (=) e da una parentesi graffa; all’interno di questa sono contenuti tutti gli elementi dell’insieme, separati uno dall’altro da un punto e virgola o da una virgola.

Rappresentazione per caratteristica o intensiva.

 Per rappresentare un insieme in forma caratteristica si scrive all’interno della parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli elementi dell’insieme,  consiste dunque nello specificare un certo numero di proprietà atte a stabilire, in modo inequivocabile, quali elementi fanno parte dell’insieme considerato e quali non vi appartengono.

Rappresentazione grafica. 

Per rappresentare un insieme in forma grafica si utilizzano i diagrammi di Eulero–Venn. Essi sono formati da una linea chiusa e non intrecciata , che delimita una parte di piano, all’interno della quale si segnano gli elementi dell’insieme con un puntino, seguito dal nome.

concetto di insieme

 

 

Concetto di insieme. Finito, infinito e vuoto

Quando un insieme è formato da un numero LIMITATO ( si possono contare tutti, sono limitati da un numero ) di elementi, si dice FINITO ( che finisce ); quando invece l’insieme è costituito da un numero ILLIMITATO di elementi, si dice INFINITO.( che non finisce mai )

Per esempio: «Le città italiane capoluogo di regione» costituiscono un insieme finito, se conto gli elementi dell’insieme finisco con un numero, ad esempio l’insieme degli abitanti di Roma, li conto ed arrivo a 2.627.000; mentre «L’insieme dei numeri naturali» forma un insieme infinito, e mi dici un numero grandissimo, basta che io dica +1 e si va avanti a contare.

Se un insieme è invece privo di elementi si dice VUOTO e si indica con il simbolo: oppure { }

Per esempio: «L’insieme degli uomini alti più di tre metri» è un insieme vuoto in quanto non esiste alcun uomo alto più di tre metri.

Occorre specificare, infine, che un insieme può anche essere composto da un solo elemento. Per esempio: «L’insieme dei numeri interi compresi fra tre e cinque» è un insieme singolo in quanto è composto da un solo elemento: 4.

NON SI FINISCE MAI DI CONTARE

Nel suo libro “Parliamo tanto di me” del 1931, lo sceneggiatore e giornalista Zavattini racconta ironicamente una gara in cui vince chi pronuncia il numero più grande:

“Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi …”, proseguendo così finché l’ultimo fievole “…di miliardi” gli uscì dalle labbra con un sospiro, quindi si abbatté sfinito sulla sedia, fra il delirio della folla che riempiva il salone in cui si svolgeva la Gara. Ma quando il principe Ottone stava per appuntargli la medaglia sul petto ecco spuntare il temuto avversario, Gianni Binacchi, che con un urlo, “Più uno!”, gli rubò il primato”.
Il nostro protagonista, affranto, tornò a casa e si buttò singhiozzando fra le braccia della moglie che lo attendeva sulla porta: “Se avessi detto più due avrei vinto io”.

DISPENSA SUGLI INSIEMI ( pdf )

Segue operazioni tra insiemi