Equazioni di primo grado: applicando il principio di addizione e sottrazione e il principio di moltiplicazione e divisione si riducono a una forma tipica, la cui soluzione è immediata.

Equazioni di primo grado e Identità

Equazione: prese due quantità che contengono una lettera x (non conosciuta), queste quantità vengono scritte una a destra ed una a sinistra mettendo un segno = (uguale) tra loro.     Es. x + 1 = 3x + 3

L’identità è un’equazione, infatti se decido di mettere al posto della x prima un numero e poi uno diverso, ho sempre sia a destra che a sinistra dell’uguale lo stesso numero.  Es. 2x + 1 + 2 = 3x – x + 3   prendo x = 1 e lo sostituisco il valore 1 nella espressione algebrica al posto di x. Avremo 2·1 + 1 + 2 = 3·1 – 1 + 3 sviluppo i calcoli ed ottengo  5=5

Scelgo adesso   x=2 sostituisco alla x e calcolo 2·2 + 1 + 2 = 3·2 – 2 + 3  7=7 E questo vale per qualsiasi numero.

Soluzione di un’equazione di primo grado.

L’incognita ( il valore che non conosco da calcolare ) si indica con una x. Risolvere un’equazione significa trovare un numero, detto soluzione o radice dell’equazione, il quale messo al posto dell’incognita rende l’equazione vera, cioè un’identità: il numero che sta a destra dell’uguale, dopo la sostituzione, è uguale al numero a sinistra.

Se si verifica questa cosa, dico che quel valore dato ad x è la soluzione dell’equazione.

Es. x + 2 = 0 → x = -2   se sostituisco x = -2 ottengo -2 + 2 = 0 cioè 0 = 0

Il  calcolo da fare è ( 30 ; 3 ) – 7 = 3

Pensa un numero 8  = X 

Raddoppialo e togli 1, quanto ti è venuto? Risposta 15.

Che calcolo fai per indovinarlo ? 

Equazioni di primo grado determinate, indeterminate e impossibili.

Equazione determinata di primo grado: se l’equazione di partenza ha un solo valore numerico che sostituito alla x la rende un’identità, allora questa equazione è determinata con una sola soluzione.

Equazione indeterminata Equazione indeterminata: se tutti i numeri che sostituisco alla x fanno diventare l’equazione iniziale un’identità, parlo di equazione indeterminata con tantissime soluzioni.

Equazione impossibile Equazione impossibile: se non trovo nessun valore che sostituito alla x fa diventare l’equazione iniziale un’identità, dico che l’equazione è impossibile (non ha soluzione).

Equazioni equivalenti: due equazioni diverse sono equivalenti (quasi uguali) se il numero che sostituisco alla x fa diventare tutte e due le equazioni iniziali delle identità. Le equazioni equivalenti hanno uguali soluzioni.

equazioni di primo grado
Principio di addizione e sottrazione e suo uso.

Per poter trovare le soluzioni di un’equazione devi saper usare due principi di equivalenza. 

Primo principio di equivalenza: se alle due quantità che si trovano una a destra ed una a sinistra dell’uguale, aggiungo (o tolgo) uno stesso numero, diverso dallo zero, si forma una nuova equazione equivalente, a quella di partenza, più semplice da risolvere.

Es. 2x – 1 = 3   aggiungo + 1 a destra e a sinistra   2x – 1 + 1 = 3 + 1 ho applicato il primo principio, ho una nuova equazione 2x = 4

Regola del trasporto: in un’equazione si può portare da destra a sinistra o da sinistra a destra, un numero o un termine con la x. Per fare questo, devi ricordare di cambiare segno: se un numero a destra è con segno meno ( – ), portato a sinistra diventa con segno più ( + ).

Es. 2x – 1 = x + 2 porto la x da destra a sinistra e porto il – 1 da sinistra a destra 2x – x = 1 + 2

Eliminazione dei termini uguali: se nella parte destra e sinistra dell’uguale ho o numeri uguali (anche con lo stesso segno) o lettere con davanti lo stesso numero con stesso segno, posso togliere tutti e due. Così si forma un’equazione equivalente a quella di partenza, più facile da risolvere.

Es. 2x + 1 – x = – x + 1 posso eliminare sempre sia a destra che a sinistra il – x ed il + 1 ottenendo 2x = 0

Principio di moltiplicazione e divisione e suo uso.

Secondo principio di equivalenza: come per il primo principio, se alle due quantità che si trovano una a destra ed una a sinistra dell’uguale, faccio il x o il : (moltiplico o divido), per un numero che non è zero, si forma una nuova equazione equivalente a quella di partenza, più semplice da risolvere.

Es. 2x = 4  divido per 2 a destra e a sinistra ho x=2

Cambiamento di segno: per il secondo principio di equivalenza, io posso moltiplicare (fare il x) per – 1 sia a destra che a sinistra dell’uguale di un’equazione. Così si forma un’equazione equivalente a quella di prima, più semplice da risolvere.

Es. -2x = 1  moltiplico per – 1 ottengo -1 · ( -2x ) = – 1 · 1 quindi 2x = – 1

Semplificazione dei fattori comuni: se a sinistra ed a destra dell’uguale tutti i termini possono essere divisi per uno stesso numero, che non è zero, si può avere un’equazione più facile da risolvere rispetto a quella iniziale.

Es. 4x = 2x – 4  tutti i termini possono essere divisi per un numero comune che è 2  quindi ho 2x = x – 2

TEORIA EQUAZIONI INTERE DI I GRADO ( testo semplificato pdf 6 pp)

Riduzione a denominatore comune: se nell’equazione ci sono delle frazioni si possono scrivere delle frazioni con uguale denominatore. Questo denominatore verrà tolto usando il secondo principio. Se moltiplico sia a destra che a sinistra per questo numero, che sta al denominatore, ho un’equazione senza più frazioni.

equazioni di primo grado