Il piano cartesiano prende il nome dal filosofo-scienziato marchese Descartes, conosciuto come Cartesio, vissuto nella seconda metà del 1600. La sua filosofia (filo significa amore, sofia sapienza, sapere) è ricordata da questa frase: “Cogito, ergo sum”, cioè “Penso, dunque sono”.

RETTA delle ASCISSE ( X )
  1. disegniamo una retta orizzontale,
  2. fissiamo un punto O detto origine, e stabiliamo su essa un verso di percorrenza (percorrere, andare lungo una strada) positivo + , da sinistra verso destra.
  3. stabiliamo a nostro piacere una unità di misura (1 cm, 2 cm …; oppure una linea, due linee … di un quadretto del nostro quaderno.

il piano cartesiano

Se il punto P segue O, al punto P si associa il numero reale positivo; se il punto P precede O, al punto P si associa il numero reale negativo; il valore del numero è detto ascissa del punto P

Tra i numeri reali R e i punti di una retta r esiste una corrispondenza biunivoca, perché ad ogni punto P appartenente alla retta r, corrisponde uno e un solo numero reale, detto ascissa del punto P, e viceversa ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta r.

Corrispondenza biunivoca

E’ una relazione tra due insiemi A e B tale che ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B e ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di di A.

IL PIANO CARTESIANO

 

  1. Tracciamo ( disegniamo ) due rette perpendicolari (dividono il piano in 4 parti uguali formando 4 angoli di 90°, come una croce), una con direzione orizzontale e l’altra con direzione verticale (in una stanza il pavimento è formato da rette orizzontali e la parete da rette verticali)
  2. Indichiamo con la lettera O il punto in cui esse si incontrano e lo chiamiamo origine.
  3. Chiamiamo la retta orizzontale  asse delle ascisse, che indichiamo con la lettera x, e la retta verticale asse delle ordinate, che indichiamo con la lettera y.
  4. Fissiamo il verso dei numeri positivi verso destra a partire dall’origine, che ha valore zero, per l’asse x, e verso l’alto, sempre a partire dall’origine, per l’asse y. Indichiamo questi versi con delle frecce, dunque partendo da O andando verso sinistra ci sono i numeri negativi sull’asse x, e andando verso il basso ci sono i numeri negativi sull’asse y.

 

il piano cartesiano

5. Stabiliamo, a nostro piacere una unità di misura lineare (un pezzo di rettapotrà essere ad esempio in un foglio a quadretti il lato di un quadretto, o i lati due quadretti … oppure 1 cm, o 2 cm …)

il piano cartesiano

6. Ogni punto del piano cartesiano, ad esempio A, è individuato da una coppia ordinata di numeri (x, y), chiamata coordinate del punto.

La coppia ordinata vuole che viene prima il valore x, chiamato ascissa e che si prende sull’asse orizzontale, e poi il valore y, chiamato ordinata e che si prende sull’asse verticale.

il piano cartesiano

Esiste una corrispondenza biunivoca tra un punto P del piano cartesiano ed una coppia ordinata di numeri reali  ( x; y) ;  perché ad ogni punto P corrisponde una e una sola coppia di valori ( x;y) e viceversa ad ogni coppia di valori (x;y) corrisponde uno  e un  solo punto P.

Le coordinate di un punto

Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti:
Tutti i punti appartenenti (appartenere, stare) al primo quadrante hanno sia l’ascissa ( x) che l’ordinata (y) positive
• Tutti i punti appartenenti al secondo quadrante hanno l’ascissa (x) negativa e l’ordinata(y) positiva
• Tutti i punti appartenenti al terzo quadrante hanno sia l’ascissa ( x) che l’ordinata (y) negative
• Tutti i punti appartenenti al quarto quadrante hanno l’ascissa (x) positiva e l’ordinata(y) negativa
• i punti che si trovano sull’asse x hanno ordinata ( y ) nulla
• i punti che si trovano sull’asse y hanno ascissa ( x ) nulla
l’origine ha coordinate nulle O ( 0 ; 0 )

iquadranti

Filmati delle lezioni tenute dal prof.Goffredo Manzo nel 13 CTP di Firenze

 

Parte prima

Parte seconda

Parte terza

COORDINATE DI UN PUNTO NELLO SPAZIO A TRE DIMENSIONI

Per individuare un punto in uno spazio a tre dimensioni( lunghezza, larghezza, altezza ), o più concretamente un oggetto come ad esempio una pallina appesa con un filo al soffitto, mettiamoci in un angolo della stanza. Devo sapere a che distanza si trova sulla parete alla mia destra, a che distanza si trova sulla parete alla mia sinistra e, infine quanto è la sua altezza dal pavimento. Pertanto mi servono tre misure con la stessa unità di misura, stabiliamo che sia in metri, così sono necessarie e sufficienti 3 coordinate.

Per indicare posizioni che non stanno su una traiettoria rettilinea o su una superficie piana (ad esempio la posizione di un aereo o di un sommergibile) dobbiamo ricorrere a tre coordinate, cioè considerare lo spazio tridimensionale costituito dalle terne (x,y,z) di numeri reali:  nella figura a lato il punto A ha (x,y) = (4,3) e quota  z = 1. Il punto B ha coordinate 1 sull’asse del pavimento x, 2 sull’asse del pavimento y, infine 3 sull’asse della parete z.

VERIFICHE SU PERIMETRI ED AREE

 

TRIANGOLI
triangolo equilatero ed isoscele
triangolo rettangolo

QUADRILATERI
quadrato
rettangolo

Segue piano cartesiano nella vita quotidiana.