Insiemi numerici: INSIEME è un GRUPPO DI ELEMENTI,CHE HANNO QUALCHE COSA IN COMUNE, IN QUESTO CASO GLI ELEMENTI SONO  NUMERI. 

Gli insiemi numerici fondamentali sono: NUMERI NATURALI, NUMERI INTERI, NUMERI RAZIONALI.

Insiemi numerici: i numeri naturali

IN INGLESE: NATURAL NUMBERS, IN FRANCESE: ENTIER NATUREL, IN TEDESCO NATÜRLICHE ZAHL IN SPAGNOLO NÚMERO NATURAL

NATURALE È UN AGGETTIVO E VIENE DAL SOSTANTIVO NATURA. PUÒ SIGNIFICARE TANTE COSE DIFFERENTI ( acqua naturale, comportati in maniera naturale … ), IN QUESTO CASO È USATO NEL SENSO DI “SPONTANEO”, “ISTINTIVO”..

I NUMERI NATURALI SONO I PRIMI NUMERI CHE IMPARIAMO,  SERVONO PER CONTARE: PARTIAMO DAL NUMERO UNO E DICIAMO I NOMI DEI NUMERI IN  SUCCESSIONE (uno dopo l’altro ).

Le PROPRIETA’ ( le cose che hanno in comune tutti i numeri interiFONDAMENTALI ( alla basemolto importanti ) dei numeri naturali sono:

  1. c’è un primo numero naturale, è uno 1, non contiamo mai a partire da zero
  2. per ogni numero naturale, aggiungiamo 1, e c’è il numero naturale successivo, o successore,non si finisce mai di contare, i numeri naturali sono infiniti
  3. Il successore di ogni numero naturale è un numero diverso, unico ( uno solo )  ed ha un solo numero che lo precede ( che sta prima )
  4. Solo il numero 1 non è il successore di alcun numero naturale.

I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un gradino al successivo, allora si può raggiungere ogni gradino.

l’INSIEME ( il gruppo ) dei numeri naturali viene indicato con il simbolo N

N = {1,2,3,…,n,……}

Tra le due parentesi graffe ci sono scritti gli ELEMENTI che appartengono all’insieme N, cioè i numeri naturali, i puntini ci dicono che l’insieme ha infiniti elementi. N è un insieme INFINITO ( non c’è un ultimo numero, non finisce mai, non è finito.

OPERAZIONI NELL’INSIEME NUMERICO N.

ADDIZIONE  ( +, più ):  la SOMMA DI DUE NUMERI NATURALI È SEMPRE UN ALTRO NUMERO NATURALE.

La SOTTRAZIONE, invece, NON È SEMPRE POSSIBILE TRA NUMERI NATURALI.

Per esempio, non posso togliere 20 da 15 e ottenere un numero naturale.

MOLTIPLICAZIONE: il PRODOTTO  DI DUE NUMERI NATURALI È SEMPRE UN ALTRO NUMERO NATURALE.

LA DIVISIONE, invece, NON È SEMPRE POSSIBILE TRA NUMERI NATURALI.
Per esempio non posso dividere 1  per 2 e ottenere altro numero naturale, 1:2 = 0,5, che è un numero decimale, con la virgola.

Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturali non bastano. Si devono pensare altri numeri e allargare l’insieme N.

INSIEMI NUMERICI. I NUMERI INTERI Primo rimedio

 

Per poter calcolare sempre una sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo ZERO e i NUMERI NEGATIVI. Si ottengono in questo modo i numeri INTERI.

Sono numeri con SEGNO negativo ( meno, – ) e positivo ( più, +), lo zero non ha segno.

Possiamo pensare alla temperatura che va sotto zero, – 7 °C, o a un debito ( soldi che dobbiamo dare a qualcuno ) negativo e a un credito ( soldi che dobbiamo avere da qualcuno ) positivo, + 5 € li ho in tasca – 7 € li devo dare.

L’insieme dei numeri interi viene indicato con il SIMBOLO  ( un simbolo è una lettera, o un disegno che significa qualcosa )

Z = {……,−n, …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…,n,……}

Le quattro operazioni fondamentali dell’ ARITMETICA si possono fare con i numeri interi, ci sono prima di tutto delle REGOLE DEL SEGNO e poi si fanno come si fa con i numeri naturali.
Nell’insieme dei numeri interi ogni numero ha ancora un successore, ma non c’è più un primo numero: l’insieme degli interi non ha MINIMO ( il più piccolo ).

Si può sottrarre ogni intero da ogni altro intero e ottenere ancora come risultato un intero.

+ 5 ( credito ) – 7 ( debito ) = – 2 ( debito )

da – 6 °C la temperatura sale di due gradi ( + 2 °C ) e passa a – 4 °C

INSIEMI NUMERICI. I NUMERI RAZIONALI Secondo rimedio

 

Per poter fare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioè le FRAZIONI, che si possono scrivere anche come  NUMERI DECIMALI ( semplici e periodici).

o, 5o numero decimale semplice

1:3 = 0, 3333333… numero decimale periodico

1/100 un centesimo frazione decimale

1/6 frazione propria, la sesta parte

Le quattro operazioni fondamentali dell’ ARITMETICA sono possibili in questo sistema più vasto ( largo, grande ).

Ma un numero razionale non ha un successore.

Es. 2,4 sembra avere come successore 2,5

ma per esempio c’è 2,41 che è prima di 2,50,

allora sembra che dopo 2,40 c’è 2,41

ma per esempio c’è 2,401 che è prima di 2,41

La divisione tra due numeri razionali  è  un  numero razionale; non è possibile dividere per zero.

L’insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo Q

insiemi numerici

 

L’insieme N è contenuto nell’insieme Z, e l’insieme Z è contenuto nell’insieme Q.

Insiemi numerici: Proprietà d’ordine

Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali.
Si può quindi dire quando un numero è compreso tra altri due.
Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali è un successore dell’altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia −4, −3, non esiste alcun numero intero tra di essi.
Ma nei razionali c’è un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Di più, ce ne sono infiniti.

Questa proprietà è chiamata densità di Q.
Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini quanto si vuole.

Altri insiemi numerici: numeri reali e trascendenti

I numeri che ammettono una rappresentazione decimale finita oppure infinita e periodica sono i numeri razionali, quelli con forma decimale infinita non periodica sono i numeri irrazionali.

I decimali infiniti non periodici rappresentano i numeri irrazionali

I numeri reali sono tutti i numeri che ammettono una qualunque rappresentazione decimale.
L’insieme dei numeri reali viene indicato con il simbolo R

I numeri irrazionali

Tra i numeri irrazionali provengono dall’estrazione di radice come ad esempio  √ 2, 

I numeri trascendenti

π, è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro

e, anche chiamato numero di Nepero ed è il limite della successione: (1+ 1 /n ) n .

Una successione si calcola attribuendo alla lettera n, i valori dei numeri interi n=1; n=2 e così all’infinito il valore a cui si tende la successione è il Numero di Nepero: 2,71828 18284 59045 23536 …

La funzione esponenziale si ottiene con x  numero razionale  y= ex
La parola esponenziale si usa anche con altri significati.

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