La proporzione richiama un’idea di armonia e bellezza.

RAPPORTI E PROPORZIONI

Definizione: il rapporto fra due numeri, preso in un certo ordine, è il quoziente della divisione fra il primo di essi e il secondo.
Il rapporto tra i numeri 1 e 2 può essere espresso mediante una delle tre scritture:

1 / 2          1: 2                       0,5

Definizione: Due rapporti si dicono equivalenti se hanno lo stesso valore.
Esempio:
I rapporti 14:7 e 28:14 sono equivalenti.

La proporzione. Definizione.

Una proporzione è un’uguaglianza fra due rapporti.

Si scrive così

a : b = c : d

e si legge  a sta a b come c sta a ( in pratica il segno diviso : si legge “sta a” e il segno = si legge come)

I termini a e d si dicono estremi ( il primo e il quarto) , i termini b e c si dicono medi ( il secondo e il terzo).

proporzione

I quattro numeri che la formano si chiamano termini della proporzione che si legge 15 sta (:) a 5 come(=) 21 sta (:) a 7. Il rapporto vale 3.

Tra le coppie dei termini, che possiamo considerare, si dicono estremi il primo ed il quarto, e medi il secondo e il terzo. La proprietà fondamentale delle proporzioni dice che una proporzione è vera se e solo se il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi. Verifichiamo (vediamo se è vero) per l’esempio:

15 x 7=5 x 21 105 = 105 (la proporzione è vera )

La proporzione: proprietà fondamentale.

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Se a : b = c : d          allora  a x d = b x c

 

Risolvere una proporzione: calcolo del quarto proporzionale

 

proprieta-delle-proporzioni

 

Se in una proporzione un termine è una incognita (qualcosa che non conosciamo) viene chiamato quarto proporzionale (x), esso esiste sempre ed è unico. Può trovarsi nella posizione di estremo o di medio e si calcola così:

Il quarto proporzionale è un elemento incognito ( che non si conosce ) di una proporzione esso si indica con la lettera X, può occupare una qualsiasi delle quattro posizioni e si calcola con una moltiplicazione  *  e una divisione  / così

a : b = c : X    ⇒       X =    b *  c   / a

In generale se l’elemento incognito è un medio si deve moltiplicare gli estremi e dividere per l’altro medio. Viceversa se l’incognita è un estremo si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo.
Si può calcolare prima la divisione o prima la moltiplicazione perché il risultato non cambia. In alcuni casi il calcolo è più semplice se fai prima la divisione.

21 : X = 7 : 10     X=  21 * 10 / 7  = 210 / 7  = 30  oppure X = 21/7 * 10 = 3 * 10 = 30

Calcola il quarto proporzionale delle seguenti proporzioni:
X : 2 = 15 : 4          9 : 15 = :  45

La proporzione continua: calcolo del medio proporzionale

25 : X = X = 4

Per la proprietà delle proporzioni avremo:

X2 = 25x 4 = 100

Estraendo la radice quadrata dei due membri dell’equazione si ha:

        √X2 = √100

X = 10

Video esercizi sulle proporzioni

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Segue proprietà delle proporzioni