mcm e MCD: calcolo e problemi.

 Scomporre un numero in fattori interi.

Un numero qualsiasi si può scrivere come il prodotto di una moltiplicazione tra due o più numeri interi minori di esso, si dice che il numero è scomposto in fattori interi. Il numero di queste scomposizioni in fattori interi è finito

Esempio. 60=20 x 3     60 = 12 x 5   60= 30 x 2   60= 4 x 15   60 = 6 x 10
60 = 4 x 5 x 3      60 = 6 x 2 x 5     60 = 2 x 10 x 3
60 = 2 x 2 x 3  x 5

In particolare ogni numero si può scomporre sempre come il prodotto di se stesso per uno.
60= 1 x 60

Nel caso che per un numero esiste solo questa scomposizione in fattori interi, esso sarà un numero primo. Esempio:
17 = 1 x 17

Appunti della prof.  Roberta Virili, docente in un corso del progetto Sirio anno scolastico 2006/07

mcm e MCD primo passo: scomporre un numero in fattori primi

mcm mcd

Si dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e 1, che hanno come divisori soltanto uno e se stessi. 2,3,5,7,11,13,17,…

– L’unico numero pari che è anche primo è 2.

– Numeri che non sono primi: 4, 6, 22, 35.

– Qualunque numero pari non è primo perché è divisibile per 2.

Ogni numero non primo può essere scomposto in fattori primi, cioè può essere espresso come prodotto di fattori primi. Esempi:

scomposizione_in_fattori_primi
Massimo Comune Divisore

Per determinare il M.C.D. (Massimo Comune Divisore) di due o più numeri, occorre scomporre i numeri in fattori primi e calcolare il prodotto dei fattori comuni, ciascuno di essi preso una sola volta con il minimo esponente. Esempio:

mcd

Minimo Comune Multiplo

Per determinare il m.c.m. (Minimo Comune Multiplo) di due o più numeri, occorre scomporre i numeri in fattori primi e calcolare il prodotto dei fattori comuni e non comuni, ciascuno di essi preso con l’esponente più grande. Esempio In riferimento all’esempio precedente:

mcm

Criteri di divisibilità

Si può stabilire se un numero qualsiasi è divisibile per alcuni numeri primi

I ciclisti: risoluzione grafica di un problema di m.c.m.

Problemi risolti col calcolo del mcm o del MCD

 

Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD

Algebra

se b = 0 allora MCD (a,b) = a,
se b > 0, si divide a per b ottenendo come resto r;
poi si divide b per r, ottenendo un resto  r1 ,
quindi si divide r per r1 ottenendo un resto r2,

finché rk = 0.
rk-1 = MCD (a,b).

ESEMPIO.

Calcoliamo MCD (420, 154)

mcd_algoritmo_euclide
da cui MCD (420, 154) = 14

Aritmetica

Calcoliamo il MCD di 28 e 16
28: 16 = 1 con resto 12
16:12 = 1 con resto 4
12:4 = 3 con resto 0
MCD (28;16) = 4 (il resto precedente quello uguale a zero).

 

Problemi con mcm e MCD

Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 315 cm per 435 cm con mattonelle quadrate le più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?

RISOLUZIONE:

Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune.

La soluzione del problema è data quindi dal MCD(315, 435) = 3 5 = 15. Le mattonelle devono avere il lato di 15 cm. Ci vogliono 435 : 15 = 29 mattonelle per ricoprire il lato di 435 cm e 315 : 15 = 21 mattonelle per ricoprire il lato da 315 cm. In tutto occorrono 29 21 = 609 mattonelle.

 

Tre funivie partono contemporaneamente da una stessa stazione sciistica. La prima compie il tragitto di andata e ritorno in 15 minuti, la seconda in 18 minuti, la terza in 20. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme?

Due aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Milano e vi ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 15 giorni e il secondo ogni 18 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si troveranno di nuovo insieme a Milano?

Disponendo di 56 penne, 70 matite e 63 gomme, quante confezioni uguali si possono fare? Come sarà composta ciascuna confezione?

Una cometa passa in prossimità della Terra ogni 360 anni, una seconda ogni 240 anni e una terza ogni 750 anni. Se quest’anno sono state avvistate tutte e tre, fra quanti anni sarà possibile vederle di nuovo tutte e tre nello stesso anno?

In una città tutte le linee della metropolitana iniziano il loro servizio alla stessa ora. La linea rossa fa una corsa ogni 15 minuti, la linea gialla ogni 20 minuti e la linea blu ogni 30 minuti. Salvo ritardi, ogni quanti minuti le tre
linee partono allo stesso momento?

Tre negozi si trovano sotto lo stesso porticato, ciascuno ha un’insegna luminosa intermittente: la prima si spegne ogni 6 secondi, la seconda ogni 5 secondi, la terza ogni 7 secondi. Se le insegne vengono accese  contemporaneamente alle 19.00 e spente contemporaneamente alle 21.00, quante volte durante la serata le tre insegne si spegneranno contemporaneamente?

 

Vai a operazioni con le frazioni