MULTIPLI E DIVISORI. DEFINIZIONE

Multipli e divisori: relazioni inverse.

Consideriamo due numeri naturali a e b. Se succede che, moltiplicando b per un opportuno numero naturale, si ottiene come risultato a, allora il numero a viene detto un multiplo di b, mentre il numero b viene detto un divisore di a.

Se a= 200 e b=4 , moltiplicando 4 per 50 abbiamo 4 x 50 = 200; allora 200 è multiplo di 4 e 4 è un divisore di 200.

LA MOLTIPLICAZIONE

Facciamo un secondo esempio:  12 è un multiplo di 2, perché è possibile ottenere 12 dalla moltiplicazione di 2 con un numero naturale (precisamente moltiplicandolo per 6). Invece 15 non è un multiplo di 2, perché, qualunque sia il numero naturale per cui moltiplichiamo 2, non riusciremo mai ad avere come risultato 15. Dunque  2 è un divisore di 12 (perché 12 è un multiplo di 2) ma non di 15 (perché 15 non è multiplo di 2): dire che un certo numero è multiplo di un altro è la stessa cosa che dire che il secondo numero è divisore del primo.

LA DIVISIONE

Considerando la divisione possiamo dire che a è un multiplo di b (o che b è un divisore di a) se succede che la divisione di a con b dà come risultato un numero intero, con resto zero.
Infatti la divisione deve dare come risultato un numero che, moltiplicato per b, dà a. Ad esempio 15 : 3 significa che devo trovare un numero che moltiplicato per 3 mi da 15: questo numero è intero ed è 5. Quindi 15 è multiplo di 3 e 3 è un divisore di 15.
Quindi, se tale numero è intero, resta verificata la definizione di multiplo, altrimenti no.

Nell’esempio precedente, 15 non è multiplo di 2 perché la divisione non dà risultato intero:  15 : 2 =  7 con resto 1, proseguendo la divisione avremo che 15: 2 = 7,5. Dunque, esiste un numero che, moltiplicato per 2, dà 15: tale numero è 7,5. Tuttavia tale numero non è intero e quindi non è possibile affermare che 15 è multiplo di 2.

Multipli di un numero.

In pratica conosciamo i primi dieci multipli dei numeri che vanno da 1 a 10 se ricordiamo la tavola pitagorica. Ad esempio: i primi 10 multipli di 6 sono
6, 12, 18, 24, 30, 36 , 42, 48, 54 , 60
si può continuare aggiungendo sempre 6 quindi 66, 72, 78, 84 …

Considerato un numero naturale,  i suoi multipli sono tutti quei numeri che si ottengono moltiplicando il numero dato per un numero naturale qualsiasi!
Ad esempio, i multipli di 2 sono: 2 x 0 = 0, 2 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 2 x 3 = 6, 2 x 4 = 8, e così via. I multipli di 2 sono evidentemente infiniti, essi sono i cosiddetti numeri pari.
Si capisce che la stessa cosa vale per i multipli di 3, di 4, di 5: sono sempre infiniti, in quanto ciascuno di questi numeri può essere moltiplicato, al fine di ottenerne i multipli, per un qualsiasi numero naturale, ottenendo risultati tutti diversi.
In generale possiamo dire che, se n è un numero naturale qualsiasi, allora i suoi multipli sono:

0, n, 2 x n, 3 x n, 4 x n, 5 x n, …

L’unica eccezione è lo zero. I multipli di 0, infatti, non solo non sono infiniti. L’unico suo multiplo è lo stesso zero. Infatti, se moltiplichiamo 0 per un qualsiasi numero naturale, otteniamo sempre 0. Possiamo allora concludere che 0 ha un solo multiplo (se stesso), mentre tutti gli altri numeri naturali hanno infiniti multipli.

Ad esempio il numero 15 ha i seguenti multipli:

15 x 1 =15;  15 x 2 = 30;  15 x 3 = 45;  

15 x 4 = 60; 15 x 5 = 75; 15 x 6 =90 ……

Divisori di un numero.

I divisori di un numero naturale sono in numero finito, non sono mai infiniti,  molto spesso sono davvero pochi, e sono più difficili da trovare, rispetto ai multipli.

C’è solo un numero che ha infiniti divisori, esso è lo zero. Qualsiasi numero naturale, infatti, è un divisore di 0 (in quanto moltiplicando qualsiasi numero per 0 si ottiene 0).  Oppure consideriamo che  0 : a significa trovare un numero che moltiplicato per a mi da zero, questo numero è sempre zero, qualsiasi sia a, dunque tutti gli a sono divisori dello zero.

Se invece prendiamo un numero naturale n diverso da 0, si capisce che i suoi divisori non possono essere infiniti, perché devono essere tutti numeri minori di n.
Quindi, se n è un numero naturale diverso da zero, i divisori di n vanno ricercati sicuramente tra i numeri naturali minori od uguali ad n. Inoltre, anche zero sicuramente non può essere un divisore di n, perché moltiplicando zero per qualsiasi numero non si potrà ottenere altro che zero, e quindi non si potrà mai ottenere n. Oppure dividendo a : o la divisione è impossibile perchè non esiste alcun numero che moltiplicato per zero mi da a

Qualsiasi numero ha per divisore se stesso e il numero uno. Ad esempio per il numero 60 abbiamo 60:60 = 1 e 60:1 =60 quindi la divisione da resto zero è quindi 60 è divisibile sia per 60 che per 1.

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

Per trovare i divisori di un numero, questo deve essere scomposto in fattori, per numeri non molto grandi si può procedere così:

MULTIPLI E DIISORI

 

Ci fermiamo così perché non esistono numeri interi che moltiplicati tra loro  danno 2 o 3 o 5.

2, 3, 5, 5

sono i più piccoli divisori di 150, per trovare gli altri dobbiamo combinare questi divisori moltiplicandoli due a due, tre a tre (perché i più piccoli divisori sono 4) con tutte le combinazioni possibili, prese una volta sola ( 2 x 3 è lo stesso che 3 x 2 ) Avremo queste coppie:

2 x 3 = 6  2 x 5 = 10    3 x 5 = 15 5 x 5 = 25

Avremo, prese una volta sola, queste combinazioni di terne:

2 x 3 x 5 = 30      2 x 5 x 5 = 50   3 x 5 x 5 = 75

I divisori di 150 saranno:

1, 2, 3,  5, 6, 10, 15, 25 30, 50, 75, 150

Allo stesso risultato arrivo comunque scompongo in due fattori il 150, come ad esempio

scoposizione_150_2

come prima ritroviamo gli stessi divisori più piccoli

2, 3, 5, 5

I numeri che sono divisibili solo per se stessi e per 1 , come 2, 3, 5 si chiamano NUMERI PRIMI.

 

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