Operazioni tra insiemi: sottoinsieme, unione, intersezione, partizione.

insieme_legumi

 

L’insieme dei legumi:  soia, ceci, piselli, lenticchie, fave, fagioli.

Il sottoinsieme dei fagioli.

OPERAZIONI TRA INSIEMI, Sottoinsieme

 

Consideriamo ( prendiamo ) l’insieme dei corsisti del CPIA, che chiamiamo A, e l’insieme degli alunni dei corsisti del CPIA che portano gli occhiali, che chiamiamo B.

Rappresentiamo i due insiemi per caratteristica: A = {x / x è un corsista del CPIA};  B = {x / x è un corsista del CPIA che porta gli occhiali}.

Si legge l’insieme A è composto da tutte le persone x, che vanno a scuola nel CPIA, l’insieme B è composto da tutte le persone che vanno a scuola nel CPIA e hanno anche gli occhiali.

È evidente ( si vede facilmente ) che gli elementi dell’insieme B sono anche elementi dell’insieme A. Si dice allora che l’insieme B è “contenuto” nell’insieme A.

DEFINIZIONE

Ogni volta che un insieme B è contenuto in un insieme A si dice che B è un sottoinsieme proprio di A.

Si scrive B ⊂ A e si legge: «L’insieme B è incluso (o contenuto) nell’insieme A» ovvero «L’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A».

Il simbolo: è detto di inclusione; significa “è incluso” o “è contenuto”. Il simbolo: è detto di non inclusione; significa “non è incluso” o “non è contenuto”.

Viceversa, per indicare che l’insieme A include l’insieme B si usa la scrittura: A B e si legge: «A include B». Il simbolo significa quindi “include” o “contiene” .

Funziona come con i simboli è maggiore ( più grande )          >   e  è minore < per i numeri ( più piccolo )

8 < 12   15 > 9

La freccia oppure l’arco ha la punta o la conca diretto verso il numero o l’insieme più piccolo.

operazioni tra insiemi

 

Gli elementi “doppi” (cioè che appartengono sia all’insieme sia al sottoinsieme) devono essere presi una sola volta.

Oltre ai sottoinsiemi propri è possibile considerare sottoinsiemi di A l’insieme vuoto e lo stesso insieme A di partenza. Questi due ultimi sottoinsiemi vengono definiti impropri.

Sottoinsiemi propri e impropri ( video )

OPERAZIONI TRA INSIEMI: intersezione

 

Siano dati gli insiemi A e B rappresentati per caratteristica: A = {x / x è un corsista che lavora} B = {x / x è un corsista italiano}.

Se consideriamo l’insieme C formato da tutti i corsisti che lavorano e che sono italiani, diremo che C è l’intersezione ( avere una sezione tra loro in comune, elementi che appartengono a tutti e due ) degli insiemi A e B.

In simboli si scrive: C = A  B dove il simbolo significa intersezione e si legge «l’insieme C è uguale ad A intersecato B». In altre parole gli elementi che appartengono a C, appartengono ad A anche a B.

DEFINIZIONE

Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, e si scrive A ∩ B, quel nuovo insieme C formato dagli elementi comuni ad A e B.

Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti.

operazioni tra insiemi

OPERAZIONI TRA INSIEMI: unione

Prendiamo gli insiemi: A = {x/x è un alunno di una classe di prima media}; B = {x/x è un’alunna di una classe di prima media}. Se consideriamo l’insieme C formato da tutti gli allievi (alunni e alunne) di prima media, diremo che è l’unione degli insiemi A e B.

In simboli si scrive: C = A U B dove il simbolo U significa unione, la relazione sopra si legge «l’insieme C è uguale ad A unito a B».In altre parole gli elementi che appartengono a C, appartengono ad A o a B.

DEFINIZIONE

Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, e si scrive  A U B, quel nuovo insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A e dagli elementi che appartengono a B presi una sola volta.

In altro modo: l’unione fra due insiemi e’ l’operazione che associa ai due insiemi l’insieme i cui elementi appartengono al primo oppure al secondo insieme. Si indica come A U B (si legge “A unione B”)

Consideriamo gli insiemi: A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3, 4, 5, 6 }

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Devo prendere tutti gli elementi che appartengono ad A o che appartengono a B.

OPERAZIONI TRA INSIEMI: partizione.

Consideriamo l’insieme N formato dalle seguenti nazioni: N ={Italia; Spagna; Giappone; Nuova Zelanda; Egitto; Brasile; Marocco; Argentina; Australia; Cina}. Formiamo cinque possibili sottoinsiemi di N in base all’appartenenza ai vari continenti:

A = {x/x è una nazione appartenente all’Europa};

B = {x/x è una nazione appartenente all’Asia};

C = {x/x è una nazione appartenente all’America};

D = {x/x è una nazione appartenente all’Africa};

E = {x/x è una nazione appartenente all’Oceania}.

Analizzando le caratteristiche dei vari sottoinsiemi vediamo che: Nessuno dei sottoinsiemi è vuoto; rappresentando infatti i vari sottoinsiemi per elencazione avremo che: A = {Italia; Spagna}; B = {Cina; Giappone}; C = {Argentina; Brasile}; D = {Marocco; Egitto}; E = {Australia; Nuova Zelanda}.

I sottoinsiemi non hanno elementi in comune; sono cioè disgiunti. Infatti l’Italia fa parte del continente europeo e non può appartenere quindi agli altri continenti, e così per le altre nazioni.  Se uniamo i vari sottoinsiemi otteniamo l’insieme-N di partenza, come si può osservare dalla rappresentazione grafica . Quando si esegue una divisione di un insieme in sottoinsiemi rispettando le tre condizioni fissate nell’esempio,  realizziamo una partizione dell’insieme.

operazioni tra insiemi

Operazioni tra Insiemi. Partizione ( video )

DEFINIZIONE

Si chiama partizione di un insieme la suddivisione dell’insieme stesso in due o più sottoinsiemi i quali devono soddisfare le seguenti condizioni: .

■ nessuno dei sottoinsiemi deve essere vuoto; .

■ i vari sottoinsiemi devono essere disgiunti, non devono cioè avere elementi in comune;

■ riunendo i vari sottoinsiemi si ottiene l’insieme di partenza.

Segue corrispondenza biunivoca