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Proprietà delle potenze: scrivere numeri molto grandi o molto piccoli.
Le principali proprietà
1a proprietà: il prodotto tra due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
an x am = a n+m
Dimostrazione: Seguendo questa regola abbiamo per esempio
22 x 23 = 2 x 2 x2 x 2 x 2 = 25
Passando dalle potenze ai numeri abbiamo
4 x 8 = 32
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti
25 = 32
2a proprietà: il quoziente tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
an : am = a n-m
Dimostrazione: Seguendo questa regola abbiamo per esempio
Passando dalle potenze ai numeri abbiamo
32 : 8 = 4
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti
22 = 4
Caso particolare: potenza con esponente negativo a-n
Dimostrazione: Seguendo questa regola abbiamo per esempio
Passando dalle potenze ai numeri abbiamo
8 : 32 = 1/4
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti
1/22 = 1/4
Caso particolare a0 = 1
an : an = a n-n = a0
Dimostrazione: Seguendo questa regola abbiamo per esempio
22 : 22 = 22-2 = 20
Passando ai numeri abbiamo
4 : 4 = 1
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi
20 = 1
Infatti un numero diviso se stesso fa sempre 1 ( eccettuato lo zero)
3a proprietà: la potenza di una potenza è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
( an )m = a n x m
Dimostrazione: Seguendo questa regola abbiamo per esempio
( 22 )3 = (2 x 2 )3 = ( 2 x 2 ) x ( 2 x 2) x ( 2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
Passando ai numeri abbiamo
( 22 )3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi
26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
4a proprietà: il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
an x bn = (a x b ) n
23 x 73 = (2 x 2 x 2) x (7 x 7 x 7) = (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x7) = (2 x 7)3
Passando ai numeri abbiamo
8 x 343 = 2744
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi
(2 x 7)3 = 143 = 2744
5a proprietà: il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
an : bn = ( a: b ) n
con b≠ 0
Dimostrazione: Seguendo questa regola abbiamo per esempio
Passando ai numeri abbiamo
343 : 125 = 2,744
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi
(7 : 5 )3 = ( 1, 4 )3 = 2,744
ao = 1 a ≠ 0 a1 = a 00 non ha significato
proprietà delle potenze: enunciati