Proprietà delle potenze: scrivere numeri molto grandi o molto piccoli.

Le principali proprietà

1^a proprietà: il prodotto tra due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

aⁿ x a^m = a ^n+m

^{Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio}

2² x 2³ = 2 x 2 x2 x 2 x 2 = 2⁵

Passando dalle potenze ai numeri abbiamo
4 x 8 = 32

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti
2⁵ = 32

2^a proprietà: il quoziente tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

aⁿ : a^m = a ^n-m

^{Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio}

Passando dalle potenze ai numeri abbiamo

32 : 8 = 4

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti

2² = 4

Caso particolare: potenza con esponente negativo a^-n

 

^{Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio}

Passando dalle potenze ai numeri abbiamo

8 : 32 = 1/4

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti

1/2² = 1/4

Caso particolare a⁰ = 1

aⁿ : aⁿ = a ^n-n  = a⁰

^{Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio}

2²  :  2² = 2^2-2 = 2⁰

Passando ai numeri abbiamo

4 : 4 = 1

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi

2⁰ = 1

Infatti un numero diviso se stesso fa sempre 1 ( eccettuato lo zero)

3^a proprietà: la potenza di una potenza è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

( aⁿ )^m = a ^{n x m}

^{Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio}

( 2² )³ = (2 x 2 )³ = ( 2 x 2 ) x ( 2 x 2) x ( 2 x 2) =  2 x 2  x  2 x 2 x  2 x 2 = 2⁶

Passando ai numeri abbiamo

( 2² )³ = 4³ = 4 x 4 x 4 = 64

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

4^a proprietà: il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

aⁿ  x  bⁿ = (a x b ) ⁿ

2³ x 7³ = (2 x 2 x 2)  x (7 x 7 x 7) = (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x7) = (2 x 7)³

Passando ai numeri abbiamo

8 x 343 = 2744

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi

(2 x 7)³ = 14³ = 2744

5^a proprietà: il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

aⁿ : bⁿ = ( a: b ) ⁿ  

con b≠ 0

^{Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio}

Passando ai numeri abbiamo
343 : 125 = 2,744
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi
(7 : 5 )³ = ( 1, 4 )³ = 2,744
a^o = 1   a ≠ 0  a¹ = a  0⁰  non ha significato

proprietà delle potenze: enunciati

Segue radice quadrata e cubica