Proprietà delle potenze: scrivere numeri molto grandi o molto piccoli.

Le principali proprietà

1a proprietà: il prodotto tra due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

an x am = a n+m

Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio

22 x 23 = 2 x 2 x2 x 2 x 2 = 25

Passando dalle potenze ai numeri abbiamo
4 x 8 = 32

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti
25 = 32

2a proprietà: il quoziente tra due potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

an : am = a n-m

Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio

proprietà delle potenze

Passando dalle potenze ai numeri abbiamo

32 : 8 = 4

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti

22 = 4

Caso particolare: potenza con esponente negativo a-n

esponentenegativo

 

Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio

proprietà delle potenze

Passando dalle potenze ai numeri abbiamo

8 : 32 = 1/4

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso infatti

1/22 = 1/4

Caso particolare a0 = 1

an : an = a n-n  a0

Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio

22  :  222-2 20

Passando ai numeri abbiamo

4 : 4 = 1

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi

20 = 1

Infatti un numero diviso se stesso fa sempre 1 ( eccettuato lo zero)

3a proprietà: la potenza di una potenza è uguale ad una potenza avente per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

( an )m = a n x m

Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio

( 22 )3 = (2 x 2 )3 = ( 2 x 2 ) x ( 2 x 2) x ( 2 x 2) =  2 x 2  x  2 x 2 x  2 x 2 = 26

Passando ai numeri abbiamo

( 22 )3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

4a proprietà: il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

an  x  bn = (a x b ) n

23 x 73 = (2 x 2 x 2)  x (7 x 7 x 7) = (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x7) = (2 x 7)3

Passando ai numeri abbiamo

8 x 343 = 2744

Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi

(2 x 7)3 = 143 = 2744

5a proprietà: il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza avente per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

an : bn = ( a: b ) n  

con b≠ 0

Dimostrazione:  Seguendo questa regola abbiamo per esempio

quoziente_potenze_esponente_uguale

Passando ai numeri abbiamo
343 : 125 = 2,744
Il risultato del calcolo eseguito con la suddetta regola deve essere lo stesso, quindi
(7 : 5 )3 = ( 1, 4 )3 = 2,744
ao = 1   a ≠ 0  a1 = a  00  non ha significato

proprietà delle potenze: enunciati

proprietà delle potenze

Segue radice quadrata e cubica