Contents
Proprietà delle proporzioni; si utilizzano le proprietà delle 4 operazioni per ricavare rapporti equivalenti e quindi proporzioni equivalenti.
Proprietà delle proporzioni: le coppie dei termini
a : b = c: d
dalla locuzione latina pro portione cioè “secondo la porzione” proportion En. proportion Fr. proporción Es. proporção Po. ποσοστό Gr
Per indicare i termini di una proporzione si indica la seguente terminologia (insieme di parole di una determinata scienza, di un linguaggio settoriale, es. medico ):
i termini a e c prendono il nome di antecedenti;
i termini b e d prendono il nome di conseguenti;
i termini a e d prendono il nome di estremi;
i termini b e c prendono il nome di medi.
Definizione: Una proporzione continua ha i medi uguali e ciascuno dei due medi uguali prende il nome di medio proporzionale.
Esempio: La proporzione
4:6 6:9
è continua e il numero 6 è il medio proporzionale.
Se il termine incognito è il medio proporzionale basta calcolare la radice quadrata del prodotto degli estremi, cioè:
a : x = x :b x = √ ab
5 : x = x : 20 x = √ 100 = 10
INVERTIRE E PERMUTARE
2. Proprietà dell’invertire: in ogni proporzione, se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene ancora una proporzione.
Esempio: Nella proporzione 5 : 10 = 15 : 30 se si applica la proprietà dell’invertire si ottiene l’uguaglianza tra rapporti 10 : 5 = 30 : 15, che è ancora una proporzione.
3. Proprietà del permutare: in ogni proporzione, se si scambiano fra loro i medi oppure gli estremi, si ottiene ancora una proporzione.
Esempio: Nella proporzione 5 : 10 = 15 : 30 se si applica la proprietà del permutare si ottiene l’uguaglianza tra rapporti 30 : 10 = 15 : 5, che è ancora una proporzione.
COMPORRE E SCOMPORRE
4. Proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).
Esempio: Nella proporzione 30: 10 = 15 : 5 se si applica la proprietà del comporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti ( 30 + 10 ) : 10 = ( 15 + 5 ) : 5
40 : 10 = 20 : 5 , che è ancora una proporzione.
5. Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione che ha gli antecedenti maggiori dei conseguenti, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Esempio: Nella proporzione
30: 10 = 15 : 5
se si applica la proprietà dello scomporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti
( 30 – 10 ) : 10 = ( 15 – 5 ) : 5
20:10=10:5 ,
che è ancora una proporzione.
ULTERIORI PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI
Proprietà 1: In una proporzione la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente.
Esempio: Nella proporzione
5:10=15:30
se si applica la proprietà suddetta si ottiene la nuova proporzione
(5+15) : (10+ 30) = 15:30
20: 40 = 15:30 .
Proprietà 2: In una proporzione la differenza tra il maggiore e il minore degli antecedenti sta alla differenza tra il maggiore e il minore dei conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente.
Esempio: Nella proporzione 5:10= 15:30 se si applica la proprietà suddetta si ottiene la nuova proporzione
(15- 5 ) : (30- 10) = 15:30
10: 20 =15:30 .
Proprietà 3: Moltiplicando due o più proporzioni termine a termine, si ottiene una nuova proporzione.
Esempio:
Date le proporzioni
5:10= 15:30 e 14:2 =21:3
se si applica la proprietà suddetta si ottiene la nuova proporzione
(5x 14) : (10 x 2) = (15x 21 ) : (30x 3)
70 : 20 = 315 : 90.
ESERCIZI
Esercizio: Scomporre il numero 120 in parti che stiano fra loro come i numeri 3, 4, 5.
Indichiamo con x, y e z le tre parti da determinare, si ha:
x :3 = y : 4 = z :5
Applicando la proprietà: “in una serie di rapporti uguali la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualunque sta al proprio conseguente”, si ottengono le proporzioni:
x+y+z : 3 +4 +5 = x :3
x+y+z : 3 +4 +5 = y : 4
x+y+z : 3 +4 +5 = z : 5
Essendo x + y+ z = 120 , si avrà:
120 :12 = x: 3
x = 120 * 3 / 12 = 30
120 :12=y : 4
y = 120 * 4 / 12 = 40
120 :12 z : 5
z = 120 * 5 / 12 = 50