Proprietà delle proporzioni; si utilizzano le proprietà delle 4 operazioni per ricavare rapporti equivalenti e quindi proporzioni equivalenti.

RIPASSO: Le proporzioni

Proprietà delle proporzioni: le coppie dei termini

 a : b = c: d

dalla locuzione latina pro portione cioè “secondo la porzione” proportion En. proportion Fr. proporción Es. proporção Po. ποσοστό Gr

Per indicare i termini di una proporzione si indica la seguente terminologia (insieme di parole di una determinata scienza, di un linguaggio settoriale, es. medico ):

i termini a e c prendono il nome di antecedenti;
i termini b e d prendono il nome di conseguenti;
i termini a e d prendono il nome di estremi;
i termini b e c prendono il nome di medi.

Definizione: Una proporzione continua  ha i medi uguali e ciascuno dei due medi uguali prende il nome di medio proporzionale.
Esempio: La proporzione

4:6 6:9

è continua e il numero 6 è il medio proporzionale.

Se il termine incognito è il medio proporzionale basta calcolare la radice quadrata del prodotto degli estremi, cioè:

a : x = x :b     x = √ ab

5 : x = x : 20  x = √ 100 = 10

INVERTIRE E PERMUTARE

2. Proprietà dell’invertire: in ogni proporzione, se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene ancora una proporzione.

proprieta-delle-proporzioni

Esempio: Nella proporzione 5 : 10 = 15 : 30 se si applica la proprietà dell’invertire si ottiene l’uguaglianza tra rapporti 10 : 5 = 30 : 15, che è ancora una proporzione.
3. Proprietà del permutare: in ogni proporzione, se si scambiano fra loro i medi oppure gli estremi, si ottiene ancora una proporzione.

proprieta-delle-proporzioni
Esempio: Nella proporzione 5 : 10 = 15 : 30 se si applica la proprietà del permutare si ottiene l’uguaglianza tra rapporti 30 : 10 = 15 : 5, che è ancora una proporzione.

COMPORRE E SCOMPORRE

4. Proprietà del comporre: in ogni proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).


Esempio: Nella proporzione 30: 10 = 15 : 5 se si applica la proprietà del comporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti ( 30 + 10 ) : 10 = ( 15 + 5 ) : 5

40 : 10 = 20 : 5 , che è ancora una proporzione.

5. Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione che ha gli antecedenti maggiori dei conseguenti, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).


Esempio: Nella proporzione 

30: 10 = 15 : 5

se si applica la proprietà dello scomporre si ottiene l’uguaglianza tra rapporti

( 30 – 10 ) : 10 = ( 15 – 5 ) : 5

20:10=10:5 ,

che è ancora una proporzione.

ULTERIORI PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI

Proprietà 1: In una proporzione la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente.
Esempio: Nella proporzione

5:10=15:30

se si applica la proprietà suddetta si ottiene la nuova proporzione

(5+15) : (10+ 30) = 15:30

20: 40 = 15:30 .

Proprietà 2: In una proporzione la differenza tra il maggiore e il minore degli antecedenti sta alla differenza tra il maggiore e il minore dei conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente.
Esempio: Nella proporzione 5:10= 15:30 se si applica la proprietà suddetta si ottiene la nuova proporzione

(15- 5 ) : (30- 10) = 15:30

10: 20 =15:30 .

Proprietà 3: Moltiplicando due o più proporzioni termine a termine, si ottiene una nuova proporzione.
Esempio:

Date le proporzioni

5:10= 15:30 e 14:2 =21:3

se si applica la proprietà suddetta si ottiene la nuova proporzione

(5x 14) : (10 x 2) = (15x 21 ) : (30x 3)

70 : 20 = 315 : 90.

ESERCIZI
Esercizio: Scomporre il numero 120 in parti che stiano fra loro come i numeri 3, 4, 5.
Indichiamo con x, y e z le tre parti da determinare, si ha:

x :3 = y : 4 =  z :5

Applicando la proprietà: “in una serie di rapporti uguali la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualunque sta al proprio conseguente”, si ottengono le proporzioni:

x+y+z : 3 +4 +5 = x :3
x+y+z : 3 +4 +5 = y : 4
x+y+z : 3 +4 +5 = z : 5

Essendo x + y+ z = 120 , si avrà:

120 :12 = x: 3

x = 120 * 3 / 12 = 30

120 :12=y : 4

y = 120 * 4 / 12 = 40

120 :12 z : 5

z = 120 * 5 / 12 = 50