Contents
- CONCETTI INTUITIVI DI CALCOLO DI PROBABILITA’
- IL CALCOLO DI PROBABILITA’
- Il calcolo di probabilità di un evento
- Il calcolo di probabilità: definizione classica.
- Il calcolo di probabilità frequentista.
- Il calcolo della probabilità di eventi compatibili ed eventi incompatibili
- Eventi complementari
- IL CALCOLO DELLA PROBABILITA’: SPUNTI
- LE PALLINE
- IL GIOCO DEI DADI
Il calcolo della probabilità non è esatto ma ci indirizza verso il risultato che potrebbe essere giusto.
Gerolamo Cardano era notoriamente a corto di soldi e si manteneva solvibile essendo un abile giocatore d’azzardo e giocatore di scacchi . Il suo libro, Liber de ludo aleae (“Libro sui giochi d’azzardo”), scritto intorno al 1564, contiene il primo trattamento sistematico della probabilità , nonché una sezione sui metodi di imbroglio efficaci. Ha usato il gioco del lancio dei dadi per comprendere i concetti di base della probabilità. Ha dimostrato l’efficacia di definire le probabilità come il rapporto tra esiti favorevoli e sfavorevoli (il che implica che la probabilità di un evento è data dal rapporto tra esiti favorevoli e numero totale di esiti possibili) Gerolamo Cardano
” Il jackpot multimilionario per chi indovina il “6” ha una possibilità di realizzarsi estremamente più rara rispetto all’esser colpiti da un fulmine o da un meteorite, una ogni 622.614.630. Eppure sono in molti a giocare.”
CONCETTI INTUITIVI DI CALCOLO DI PROBABILITA’
La probabilità può sembrare una cosa molto complicata ma pensa a quante volte utilizzi nella vita di tutti i giorni parole conosciute come: è sicuro, forse, non può essere! Sostituiscile con: è certo, è possibile, è impossibile
Prevedere vuol dire immaginare come andrà a finire un evento in una determinata situazione. Pensiamo a ciò che accadrà e ragioniamo sul futuro, utilizzando però l’esperienza del passato.
Tu decidi che un enunciato può essere vero o falso in base a quello che dichiara.
Ipotizzare significa fare delle ipotesi, cioè ragionare su cosa accadrà di sicuro, su cosa può darsi che accada, su cosa non accadrà mai
Domani pioverà?”
Hai 3 risposte a disposizione se ci rifletti.
Qual è secondo te la frase che dice la verità?
- Domani è certo che pioverà
- Domani è possibile che piova
- Domani è impossibile che piova
Possibile vuol dire che qualcosa forse accadrà ma che non ne siamo sicuri.
Domani può darsi che piova, ma non possiamo affermarlo né negarlo con certezza.
Ci sono invece alcune situazioni sulle quali possiamo essere sicuri, sulle quali non ci sono dubbi.
Ipotizzare significa non solo prevedere, ma anche progettare, scegliere quelle azioni che permettono ad un fatto di avverarsi.
Se vuoi comperare un gelato in che negozio entri?
- cartoleria
- gelateria
- panetteria
- farmacia
- profumeria
Le situazioni quotidiane sono quei fatti che tu puoi conoscere che ti è capitato di vedere più di una volta nei luoghi che frequenti di solito.
PROBABILITÀ per le scuole medie dal sito dell’ISTAT ( istituto nazionale di statistica
IL CALCOLO DI PROBABILITA’
Il termine “probabilità” viene frequentemente utilizzato quando si fa riferimento a situazioni incerte, a fenomeni per i quali è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ogni volta.
Se si getta in aria una moneta, e si registra il risultato (testa o croce) del lancio, si dice che si è effettuato un esperimento casuale semplice, in effetti prima di effettuare il lancio, entrambi i risultati sono possibili, per cui è incerto a priori.
Un esperimento casuale può dar luogo a più risultati, e quindi a più eventi casuali.
Un evento casuale (o aleatorio) può essere:
- Certo, come quello riguardante l’estrazione di una pallina rossa da un sacchetto contenente solo palline rosse;
- Possibile, come quello di estrarre una pallina rossa da un sacchetto contente palline bianche e rosse;
- Impossibile, come quello riguardante l’estrazione di una pallina bianca da un sacchetto che contiene solo palline rosse.
Un evento che può essere suddiviso in eventi semplici è un evento composto: infatti lanciando la stessa moneta due volte, sono possibili i seguenti 4 eventi
1) testa al primo lancio e testa al secondo lancio
2) testa al primo lancio e croce al secondo lancio
3) croce al primo lancio e testa al secondo lancio
4) croce al primo lancio e croce al secondo lancio
Ogni evento semplice E è rappresentato da un punto “e” denominato punto campione; l’insieme dei punti-campione costituisce lo spazio dei campioni associato con l’esperimento casuale che si effettua.
Il calcolo di probabilità di un evento
La probabilità è un numero che si associa ad un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi. Esso può essere precisato con un numero, P(E) compreso tra 0 e 1 denominato probabilità dell’evento E.
- La probabilità di un evento impossibile è 0.
- La probabilità di un evento certo è 1
- La probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso fra 0 e 1.
In generale, considerando assieme i tre casi, possiamo dire che la probabilità di un evento è compresa fra 0 e 1, estremi inclusi. Spesso il valore della probabilità viene espresso in termini percentuali. Per esempio, un evento certo si verificherà al 100%.
ESEMPIO
La probabilità di estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente 10 palline rosse è 10/10=1 (evento certo).
La probabilità di estrarre una pallina verde da un sacchetto contenente 10 palline rosse è 0/10=0 (evento impossibile).
La probabilità di un evento aleatorio è rappresentata da una frazione il cui numeratore è minore o uguale del denominatore, quindi
𝟎 ≤𝑷𝑬≤𝟏
Circa il concetto di probabilità esistono due orientamenti dottrinari corrispondenti alla concezione oggettiva e alla concezione soggettiva di probabilità: nella prima si possono far rientrare la definizione classica e la definizione statistica o frequentista di probabilità, mentre la seconda è fondata sulla definizione soggettivista.
Il calcolo di probabilità: definizione classica.
La definizione classica è basata sul principio secondo il quale se non vi sono fondate ragioni per differenziare un evento possibile da un altro, essi devono trattarsi come ugualmente probabili.
Conoscendo pertanto il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un evento E di cui si vuole misurare la probabilità, quest’ultima è misurata dal rapporto:
Il calcolo di probabilità frequentista.
La probabilità dell’evento E in una prova sia P(E), ripetendo la prova un gran numero di volte si osserva che il rapporto
f=m/n (frequenza relativa)
fra il numero m di volte in cui si produce l’evento e il numero n di prove effettuate, tende ad avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E): è questa la legge empirica del caso o legge dei grandi numeri, che stabilisce una relazione fra la probabilità teorica di un evento e la frequenza statistica con cui quell’evento si verifica.
Questa è alla base della concezione frequentista o statistica di probabilità.
Ma quanti esperimenti bisogna fare???
La probabilità di un evento, valutata in modo frequentistico dipende dal numero degli esperimenti effettuati: maggiore è questo numero, più attendibile è la stima.
Nella situazione in cui è possibile ricorrere alla definizione classica – lancio di una moneta – è senza dubbio da preferire.
Nella concezione soggettiva, la probabilità P(E) di un evento è un valore che traduce numericamente un’opinione personale: potremmo definirlo un giudizio espresso da qualcuno sul verificarsi di un evento incerto, sulla base di valutazioni che egli fa in base agli elementi che ha a disposizione.
Il calcolo della probabilità di eventi compatibili ed eventi incompatibili
Due eventi aleatori E1 e E2 sono compatibili se il verificarsi dell’uno non esclude il verificarsi dell’ altro, è cioè possibile che si verifichino entrambi contemporaneamente.
Due eventi si dicono incompatibili se non possono verificarsi contemporaneamente.
Estraendo una carta da un mazzo di 40, i due eventi: E1 = “Esce l’asso di cuori” E2 = “Esce una figura” sono incompatibili.
Due eventi sono, invece, compatibili se c’è anche una sola possibilità che possano verificarsi simultaneamente, in una data prova.
Estraendo una carta da un mazzo di 40, i due eventi: E1 = “Esce una figura” E2 = “Esce una carta di cuori” sono compatibili perché in una estrazione potrebbe uscire una figura di cuori.
La probabilità di due eventi compatibili è data dalla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi:
Consideriamo 12 gettoni numerati e sia 𝐸1= esce un numero pari 𝐸2= esce un numero maggiore di 7
Casi favorevoli per 𝐸1; A=2,4,6,8,10,12→𝑝(𝐸1)=6/12
Casi favorevoli per 𝐸2; B= 8,9,10,11,12→𝑝(𝐸2)=5/12
𝐸= esce un numero pari o un numero maggiore di 7
Possiamo valutare la probabilità dell’evento
𝑝𝐸=𝑝 (𝐸1 o 𝐸2 )?
Tenendo presente che la probabilità dell’evento 𝑝𝐸1 e 𝐸2 «esce un numero pari e maggiore di 7» è 3/12 (i numeri che soddisfano la richiesta sono 8, 10, 12) si ha
𝑝𝐸1 o 𝐸2=𝑝𝐸1+𝑝𝐸2−𝑝𝐸1e𝐸2 = =6/12+5/12−3/12=8/12=2/3
Due eventi aleatori E1 e E2 sono incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro ma può anche accadere che nessuno dei due si verifichi.
La probabilità di due eventi incompatibili è data dalla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi:
Eventi complementari
Due eventi casuali E1 e E2 sono complementari se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’ altro, ma uno dei due si verificherà certamente.
Due eventi complementari sono sempre incompatibili, ma due eventi incompatibili non sono necessariamente complementari.
La somma delle probabilità di due eventi complementari è uguale a 1.
Con riferimento a due eventi E1 ed E2, se sappiamo che E1 si è già verificato, possiamo calcolare la probabilità che verrà indicata con P(E2|E1), che l’evento E2 si verifichi subordinatamente alla condizione che si sia verificato E1:
Si parla di probabilità condizionata quando il verificarsi di un evento E2 dipende dal verificarsi di un altro evento E1.
IL CALCOLO DELLA PROBABILITA’: SPUNTI
Per introdurre l’approccio frequentista del calcolo della probabilità, si può proporre il seguente esercizio:
consideriamo una puntina da disegno e lanciamola in alto.
Essa può cadere in due diversi modi: con la punta rivolta verso l’alto o con la punta rivolta verso il basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta
verso il basso.
Si effettuano N lanci, si conta il numero B delle volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il basso e si ha:
Maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato.
LE PALLINE
– Preparare due sacchetti, ognuno con 18 palline di carta, nel primo sacchetto mettere 10 palline rosse e 8 blu, nel secondo sacchetto mettere 7 palline rosse e 11 blu. Volendo estrarre
una pallina rossa, da quale sacchetto conviene pescare?
Scrivere sulla lavagna: nel primo sacchetto le palline rosse rappresentano i 10/18, nel secondo rappresentano i 7/18.
Dal confronto delle frazioni che esprimono le probabilità relative ai due sacchetti, è possibile stabilire qual è il sacchetto dove è maggiore la probabilità di estrarre una
pallina rossa: 10/18 > 7/18, quindi conviene pescare nel primo sacchetto.
IL GIOCO DEI DADI
– Si lanciano due dadi e si pone la seguente domanda: “Qual è la probabilità che almeno uno di essi sia un 6?”
Si costruisce lo spazio campione, utilizzando una tabella a doppia entrata, con i 36 casi possibili. Utilizzando i dadi di due colori diversi si può far vedere che l’uscita della coppia
{1,2} è un evento distinto da quello della coppia {2,1} e così per le altre coppie.
Così si può vedere che ci sono 11 casi in cui esce il 6 su almeno uno dei dadi.
La probabilità dell’evento è quindi p=11/36.