Logica matematica: una proposizione è una frase, chiamata asserzione, che può essere solo “vera” o “falsa.

Facciamo qualche esempio per comprendere meglio questi concetti.

5 è un numero pari;/4 è un numero intero; 3 è un numero naturale; l’Italia è la nazione più bella dell’Europa.

La prima asserzione “5 è un numero pari” è falsa. La seconda asserzione “6/4 è un numero intero” è falsa. La terza asserzione “3 è un numero naturale” è vera.

Per quanto riguarda la quarta asserzione “L’Italia è la nazione più bella dell’Europa”, alcuni potrebbero rispondere che è vera e altri che è falsa.

Le prime tre asserzioni, che possono assumere l’attributo vero o falso, sono dette proposizioni. La quarta asserzione, invece, non è una proposizione.

Una proposizione viene indicata con una lettera minuscola dell’alfabeto (es: p, q, ecc..

Tabelle di verità e Logica matematica.

Le tabelle di verità sono anche dette tavole di verità e si usano nell’ambito della logica matematica. Per comprendere cosa sono partiamo dal dire che una proposizione p può essere Vera o Falsa.

Le tabelle della verità non sono altro che delle semplici tabelle utilizzate per stabilire se una proposizione è Vera o Falsa. Si tratta, cioè, di un modo molto agevole per calcolare i valori di verità delle proposizioni.

RAGIONARE COERENTEMENTE:LA LOGICA FORMALE

Tabelle di verità e negazione logica

Data una proposizione p, la sua negazione non-p è una proposizione che è falsa se e soltanto se p è vera ed è vera se e soltanto se p è falsa.

Questo enunciato può essere facilmente espresso avvalendosi di una tabella che viene riportata nell’immagine in alto e che prende il nome di tavola di verità.

Ogni proposizione può assumere solamente due valori: V (cioè vera), F (cioè falsa).
Nella prima colonna sono riportati i valori di verità di p. Nella seconda colonna sono riportati i valori di verità di non-p.

Leggiamo la seconda riga della tavola di verità: essa ci dice che se p è vera non-p è falsa.
Nella terza riga leggiamo, invece, che se p è falsa non-p è vera.

logica matematica

Cosa si intende per negazione?

Se alla proposizione aggiungiamo un “non”

Prendiamo la proposizione: 5 è un numero intero. Proviamo ora ad aggiungere ad essa la parola “non”. Avremo una nuova asserzione, ovvero: 5 non è un numero intero.

Questa nuova asserzione viene detta negazione della proposizione precedente.

Facciamo un altro esempio.
Prendiamo la seguente proposizione: 13 è un numero divisibile per 2. Aggiungiamo ad essa la parola “non” ed otteniamo una nuova proposizione, cioè: 13 non è un numero divisibile per 2.

Questa nuova asserzione è una negazione della proposizione precedente.

Quindi possiamo affermare che: data la proposizione p, possiamo sempre costruire la negazione non-p.

fonti per la Logica Matematica:

Matematica in pillole,

CONNETTIVO DI CONGIUNZIONE 

 

L’esempio mette in evidenza che la proposizione composta è stata costruita con la locuzione “e” a partire da due proposizioni atomiche che indicheremo rispettivamente coi simboli “A” e “B”. Indicheremo nel linguaggio formale delle proposizioni col simbolo “Λ” la locuzione “e” e scriveremo (A,B) → A Λ B la corrispondenza che associa alla coppia ordinata delle due proposizioni atomiche A,B la proposizione composta A Λ B, il cui valore di verità dipenderà dai valori di verità di A e di B secondo la seguente definizione del connettivo di congiunzione: la proposizione composta A Λ B è vera se A e B sono entrambe vere, falsa negli altri 3 casi.

Nel linguaggio logico non interessa come si arriva ai valori di verità delle proposizioni atomiche interpretate nel linguaggio naturale bensì solo il valore di verità della proposizione composta in base alla suddetta definizione riassunta da una tabella detta tavola di verità:

CONNETTIVO DI DISGIUNZIONE

La proposizione composta: “Il sole è una stella o la Terra è un satellite” è stata costruita mediante la locuzione “o” a partire da due proposizioni atomiche “A” e “B”. Indicheremo nel linguaggio formale delle proposizioni “V” la locuzione “o” e scriveremo (A,B) → A V B la corrispondenza che associa alla coppia ordinata delle due proposizioni atomiche A,B la proposizione composta A V B, il cui valore di verità dipenderà dal valore di verità di A e B secondo la seguente definizione del connettivo di disgiunzione: la proposizione composta A V B è falsa se A e B sono entrambe false, vera negli altri 3 casi.

Nel linguaggi naturale latino la locuzione “o” con questo significato si traduceva con “vel” col significato di disgiunzione inclusiva, mentre si traduceva con “out” col significato di “alternativo”. Pertanto nel linguaggio logico interessa solo il valore della proposizione composta in base alla suddetta definizione riassunta dalla tabella di verità:

CONNETTIVO DI NEGAZIONE

Consideriamo la proposizione “5 < 3”, è chiaramente falsa mentre la proposizione “5 non è minore di 3”, è una proposizione vera. Indicheremo nel linguaggio formale delle proposizioni ד” l’avverbio di negazione “non” e scriveremo A → ד A la corrispondenza che associa alla proposizione A la sua negazione, il cui valore di verità dipende dal valore di verità di A, secondo la seguente definizione:

1. E’ falsa se A è vera;

2. E’ vera se A è falsa;

rappresentata dalla tavola di verità:

 

CONNETTIVO DI CONDIZIONALE

Consideriamo per esempio la proposizione composta “Se Parigi è la capitale della Francia, allora la Francia ha una capitale.”. La prima proposizione A = “Parigi è la capitale della Francia” si chiama antecedente, la seconda proposizione B = “La Francia ha una capitale” si chiama conseguente.

La proposizione composta da “Se A allora B” è stata costruita a partire da due proposizioni atomiche A e B. Indicheremo nel linguaggio formale delle proposizioni, la proposizione composta dal connettivo “→” il cui valore di verità dipende dai valori di verità di A e di B secondo la definizione: A → B è falsa solo nel caso in cui l’antecedente è vero e il conseguente è falso, come riassunto dalla tavola di verità:

logica matematica

 

 

Occorre osservare che l’unica relazione tra A e B nella proposizione composta dal connettivo di condizionale è data dalle possibili combinazioni dei valori di verità tra A e B, e non ci interessa alcun legame di causa-effetto o di deduzione logica tra le due proposizioni.

CONNETTIVO DI BI-CONDIZIONALE

Consideriamo per esempio la proposizione composta “Un triangolo è isoscele se e solo il triangolo ha due angoli congruenti”. La proposizione composta da “Se A e solo se B” è stata costruita a partire da due proposizioni atomiche A e B. Indicheremo nel linguaggio formale delle proposizioni,

la proposizione composta dal connettivo “↔” il cui valore di verità dipende dai valori di verità di A e di B secondo la definizione: A ↔ B è vera nei casi in cui A e B abbiano lo stesso valore di verità, falsa negli altri due casi, come riassunto dalla tavola di verità:

 

logica matematica

 

 

La definizione suddetta è coerente con quella che definisce il connettivo di condizionale interpretato nei due versi. Vale la stessa osservazione in cui tra A e B non interessano legami di causa-effetto o di deduzione logica tra le due proposizioni, bensì solo le possibili combinazioni dei loro valori di verità.

LOGICA MATEMATICA: IL LINGUAGGIO DELLE PROPOSIZIONI

A questo punto siamo in grado di riassumere il linguaggio formale delle proposizioni:

  1. L’alfabeto del linguaggio è dato: – Un insieme di simboli indicati con le lettere maiuscole (A,B,C….X,Y,Z) dell’alfabeto dette proposizioni atomiche;– I connettivi proposizionali ד, Λ, V, →, ↔;– Una coppia di simboli “( )” dette parentesi tra cui racchiudere le proposizioni composte.
  1. Le regole di formazione delle formule ben formate “f.b.f.” ottenute mediante una sequenza finita di simboli dell’alfabeto:– Ogni proposizione atomica è una f.b.f.;– Una sequenza di simboli è una f.b.f. se è costruita in modo ricorsivo a partire dalle proposizioni atomiche x,y, applicando i connettivi nel seguente modo:דx , x Λ y , x V y , x → y , x ↔ y

 

Siamo ora in grado di riconoscere se una qualunque stringa ( cioè una successione di caratteri, in questo caso lettere maiuscole, simboli e parentesi tonde ) del nostro linguaggio artificiale è una f.b.f. Sono esempi di f.b.f. :

A ; ד(x → (דy)) ; (A → B) → (C → ( דX )).

Viceversa, Aד non è una f.b.f. perché il simbolo di negazione deve essere seguito da una f.b.f.

A ; A ↔ non sono f.b.f. perché i simboli di condizionale e bi-condizionale devono trovarsi tra f.b.f.

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