Area Triangoli Quadrilateri:  formule dirette ed inverse

AREA TRIANGOLI QUADRILATERI: moltiplicazione, divisione, unità di misura.

L’operazione che è utilizzata per il calcolo è la moltiplicazione, i concetti geometrici sono l’equiestensione e la misura di figure piane. 

Proprietà della moltiplicazione e divisione, come operazioni inverse:

Se 5 x 2 = 10 ↔  10 : 2 = 5 e 10 : 5 = 2

Equazione di primo grado:  b x h = A

Se b è l’incognita ↔  b = A/h  per il principio di divisione, e in maniera analoga, se a è l’incognita ↔  a = A/b

L’unità di misura di una superficie ( detta Area ) è il metro quadrato ( m2 , mentre nella vita quotidiana usiamo mq). Misurare una figura significa calcolare quanti metri quadrati contiene.

Dal metro unità di misura fondamentale del Sistema internazionale delle misure si ottiene una sua grandezza derivata.

Proprietà delle potenze aventi la stessa base: m x m = m2

Quadrilateri con coppie di lati opposti paralleli ed uguali.
AREA TRIANGOLI QUADRILATERI
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AREA TRIANGOLI QUADRILATERI: equi-estensione ed equi-scomponibilità tra figure piane.

Due figure piane sono  equiestese quando hanno la stessa superficie.
Quindi si tratta di un’uguaglianza tra Aree, come per tutte le uguaglianze valgono le tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva

  • riflessiva: ogni figura è equiestesa a sé stessa
  • simmetrica:  se la figura A è equiestesa alla figura B anche la figura B è equiestesa alla figura A
  • transitiva: se la figura A è equiestesa alla figura B e la figura B è equiestesa alla figura C allora la figura A è equiestesa alla figura C

Due figure piane si dicono equiscomponibili se una di esse si può dividere in un numero finito di parti che ricomposte danno l’altra figura.
È evidente che due figure equiscomponibili sono equivalenti, dato che sono costituite dalle stesse parti disposte in modo differente. Per i poligoni vale anche il viceversa: due poligoni equivalenti, cioè con la stessa area, sono equiscomponibili..

Triangoli

Ricordiamo alcune proprietà del triangolo.  Nel calcolo della formula diretta compare la metà e nelle inverse il doppio.

Proprietà della moltiplicazione e divisione:

Se dividendo : divisore = quoto  allora quoto x divisore = dividendo   Se (10 x 30) : 2  = 150 allora  2 x 150 =  10 x 30 

Proprietà della moltiplicazione e divisione, come operazioni inverse:   10 = 2 x 150 : 30    e      30 = 2 x 150 : 10 

Equazione di primo grado:  b x h : 2 = A   per il principio di moltiplicazione  b x h = 2 x A

Se l’incognita è b per il principio di divisione b =  2 x A : h  in maniera analoga, se h è l’incognita    h =  2 x A : b

AREA TRIANGOLI QUADRILATERI

TRIANGOLO EQUILATERO. Poniamo CH = h  e siccome l’altezza taglia a metà la base AH = HD = l/2

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo CHB, per calcolare il cateto CH, avremo                CH = √CD2 – HD2   cioè h = √ l2 – ( l/2 )2  

ELEVO AL QUADRATO   = √ l2 – l2 / 4            CALCOLO IL mcm dei termini sotto radice  = √ 4 l2 – l2 / 4

SOMMO A NUMERATORE I MONOMI SIMILI  = √ 3 l2/ 4   PER UNA PROPRIETA’ DEI RADICALI = √3 x √ l2/4

ESTRAGGO LA RADICE AL SECONDO FATTORE = √3 x l/2  QUINDI h = l/2 x √3  e A = b x h = l x l/2 x √3 = √3/2 x l2

Quadrato, rombo, trapezio.
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AREA TRIANGOLI QUADRILATERI: quale formula utilizzare?

Applicare una formula significa sostituire i valori dati, con l’unità di misura appropriata, al posto delle grandezze note, fare i calcoli matematici e trovare così il valore della grandezza incognita seguita dalla sua unità di misura appropriata.

Basta individuare le grandezze note e la grandezza incognita che si può calcolare con una formula.

In un problema di geometria spesso si deve analizzare il problema partendo dai dati e chiedersi conosco una formula che mi permette di calcolare l’incognita ? Ho tutti i dati che servono ? In caso negativo con i dati che ho a disposizione cosa posso calcolare ?