Elementi di Euclide

Gli “Elementi di Euclide” sono un’opera di 13 libri, scritta tra il IV e il III secolo a.C.

” Il genere letterario degli «elementi» era antecedente ad Euclide. Proclo, vissuto nel V sec., dà una spiegazione: «si dice elemento la parte più semplice nella quale si risolve il composto. Peraltro non ogni cosa potrà esser detta elemento di un tutto, ma solo le più originarie tra le cose ordinate in ragione di un risultato, come per esempio i postulati sono elementi dei teoremi»

L’opera non comprende tutta la geometria greca che ci è stata trasmessa, ma solo quella «della riga e del compasso»: è possibile eseguire tutte le costruzioni geometriche che compaiono usando solo questi strumenti (virtuali). E’ una geometria speculativa e sintetica.
Sono esclusi dagli Elementi oggetti matematici come le sezioni coniche (ellisse, parabola, iperbole), ma non viene nemmeno studiata la geometria della sfera, sebbene la sfera venga usata nella parte degli Elementi dedicata alla geometria solida. ” ( Veronica Gavagna, Le definizioni della geometria euclidea )

Elementi di Euclide: un sistema ipotetico deduttivo.

Gli Elementi sono il più antico esempio di sistema assiomatico. ( un assioma è una verità evidente che non ha bisogno di essere provata, dimostrata ).

Un sistema assiomatico è una struttura teorica contenente più enti:

  1. si introducono i termini basilari ( gli enti fondamentali o primitivi ) del discorso e si spiega il loro significato, senza una definizione rigorosa, questi sono chiamati termini primitivi;
  2. tutti gli altri termini sono definiti, in maniera rigorosa, a partire dai precedenti e si chiamano termini definiti o derivati ( gli enti derivati o definiti)
  3. si crea una lista di affermazioni sui termini primitivi; tali affermazioni basate sulle definizioni date sopra devono essere vere per tutti; questi asserti sono definiti Assiomi e Postulati;
  4. gli assiomi, o nozioni comuni, sono validi per tutte le scienzei postulati sono veri per la scienza che si studia, cioè la geometria.
  5. tutti le altre proprietà che si affermano nel discorso geometrico sono dedotti dai termini definiti precedentemente e dalle affermazioni, assiomi e postulati, stabilite prima; queste affermazioni derivate si dicono teoremi, o proposizioni, che devono essere provati con una dimostrazione
Sommario degli Elementi di Euclide.

I 13 Libri  possono essere distinti nel seguente modo:

• Libri I-VI: geometri piana elementare; • Libri VII-IX: teoria dei numeri ( rapporti tra grandezze geometriche ) ; • Libro X: gli incommensurabili ( cioè grandezze geometriche che non hanno un rapporto razionale che proviene da una divisione) ; • Libri XI-XIII: geometria solida.

Libro I: geometria del triangolo e del parallelogrammo(criteri di congruenza, propp. 4, 8, 26; th. Pitagora prop.47). Libro II: sezioni di segmenti e uguaglianza di aree associate, quadratura di un poligono.

Libro III: il cerchio e le sue parti. Tangente al cerchio.
Libro IV: costruzione di poligoni regolari (4, 5, 6, 10, 15 lati).

Libro V: teoria generale delle proporzioni tra grandezze.
Libro VI: teoria della similitudine tra figure piane.

Libro VII: teoria dei rapporti tra numeri, Massimo comun divisore e minimo comune multiplo
Libro VIII-IX: progressioni geometriche (proporzioni continue), numeri primi e numeri perfetti

Libro X: classificazione delle linee irrazionali.

Libro XI: costruzioni stereometriche fondamentali; parallelepipedi.

Libro XII: piramidi e prismi, coni, cilindri.
Libro XIII: sezione aurea,
costruzione dei cinque poliedri
regolari (o solidi platonici).

Libro primo. Enti geometrici fondamentali

Il libro I degli Elementi di Euclide è particolarmente importante perché in esso sono contenuti i princìpi sui quali si basa l’organizzazione euclidea della geometria. Contiene 23 Definizioni, 5 Postulati, 5 Assiomi e 48 Teoremi. Definizioni, Postulati, Assiomi e Teoremi hanno una numerazione precisa, che li contraddistingue; ad ogni numero di una di queste liste corrisponde un determinato asserto, o proprietà.

La lista delle Definizioni introduce gli enti, cioè i termini, i “concetti” o “definizioni”, che si studiano nel libro I.

Questi enti sono suddivisi in termini primitivi e in termini definiti,o derivati, quelli primitivi sono introdotti e spiegati ma non definiti tramite qualcos’altro e gli altri sono definiti a partire da quelli primitivi.

Le prime sette Definizioni sono riferite agli enti fondamentali ( punto, linea, retta, superficie e piano, i concetti fondamentali non possono essere definiti rigorosamente, si descrivono in un modo che fa sorgere un concetto nella mente altrui, per mezzo di immagini opportunamente rievocate ed associate. )

1. Un punto è ciò che non ha parti.

2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.

3. Gli estremi di una linea sono punti.

4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa (costituita in modo uniforme dai suoi stessi punti, La retta è la linea più breve tra due punti. ) .

5. Una superficie è ciò che ha lunghezza e larghezza.

6. Gli estremi di una superficie sono linee.

7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa ( costituita in modo uniforme dalle sue stesse linee).

Elementi di Euclide. Enti geometrici derivati: angoli.

Seguono le definizioni degli enti derivati, definiti, partendo dai concetti fondamentali ( angolo tra due linee, angolo rettilineo, angolo retto, angolo ottuso ed acuto, il termine e la figura, il cerchio, il centro ed il diametro di un cerchio, il semicerchio, il poligono e diversi tipi di triangoli e quadrilateri, rette parallele).

Dapprima si considera un concetto che sia già noto  a cui si aggiungono dei requisiti specifici. Ad esempio:  triangolo;  due lati sono uguali; → nuovo concetto: triangolo isoscele:

8. Un angolo piano è l’inclusione ( inclinazione ) reciproca di due linee in un piano le quali si incontrino.

9. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è detto rettilineo.

Elementi di Euclide

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10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa angoli adiacenti e uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la retta si dice perpendicolare a quella su cui si è innalzata.

11. Dicesi ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.

12. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.

13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.

Enti geometrici derivati: figure piane curve.

14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.

i punti a e b sono termini del segmento, le linee ab,bd,dc,ca sono termini della figura

15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura siano uguali fra loro.

16. Quel punto si chiama centro del cerchio.

17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il centro a metà.

18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da esso tagliata, e centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.

Enti geometrici derivati: figure piane rettilinee.

9. Dicesi rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette, quelle quadrilatere comprese da quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.

20. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali, isoscele quella che ha due lati uguali e scale

21. Dicesi triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.

22. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli retti.

23. Si dicono parallele rette giacenti ( appartenenti )  nello stesso piano che, prolungate illimitatamente ( indefinitamente ) in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da nessuna delle due parti ( direzioni )

Elementi di Euclide. Assiomi.

Gli Assiomi sono verità comuni a tutte le scienze, enunciano delle verità evidenti a chiunque, non dimostrabili ma nondimeno indubitabili. In quanto verità note a tutti, essi venivano anche considerati delle nozioni comuni, che costituiscono la base di tutto il pensiero deduttivo

1. Cose uguali a un’altra sono uguali tra loro.

2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose uguali ( gli interi sono uguali).

3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.(se a quantità uguali vengono sottratte quantità uguali, i resti  risultano uguali)

4. Se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le somme sono disuguali

5. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro

6. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro

7. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra ( che coincidono )sono uguali tra loro.

8. Il tutto ( l’intero ) è maggiore della parte.

Elementi di Euclide. I 5 postulati.

I Postulati sono i principi riguardanti la teoria a cui ci si riferisce, in questo caso la geometria, ed in essa sono sempre veri. Un postulato si differenzia da un assioma in quanto è introdotto per dimostrare proposizioni che altrimenti non potrebbero essere dimostrate.

1. E’ possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto ( Dati due punti qualsiasi, è possibile tracciare una e una sola retta.).

Elementi di Euclide

2. E’ possibile prolungare illimitatamente ( in modo continuo) una retta finita in linea retta ( Una linea retta può essere prolungata indefinitamente).

Elementi di Euclide

3. E’ possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio) qualsiasi (Dato un punto e una lunghezza qualsiasi, si può descrivere un cerchio rispettivamente con un centro e un raggio).

Elementi di Euclide

4. Tutti gli angoli retti sono uguali ( congruenti ) fra loro ( tutti gli angoli retti sono uguali ).

Elementi di Euclide

5. Se, in un piano, una retta, intersecando due altre rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla stessa parte ( direzione ) dove si trovano i due angoli minori di due angoli retti. ( postulato delle parallele, la retta parallela tracciata ad una retta per un punto esterno ad essa è l’unica retta parallela a quella retta condotta per quel punto )

Elementi di Euclide
Elementi di Euclide. I Teoremi.

I Teoremi sono un testo che deve essere provato vero, dimostrato con un ragionamento logico e rigoroso. Per dimostrare i Teoremi in generale si sfruttano le proprietà dei Termini definiti, gli Assiomi e i Postulati, oppure i Teoremi precedentemente dimostrati. Una conoscenza matematica può essere acquisita solo per mezzo del ragionamento. Una figura ( un disegno) può farci intuire qualcosa, ma nessuna proprietà può essere dedotta dalla figura; si dovrà invece dare una esatta dimostrazione di ogni proprietà.

Un aspetto importante è il rigore con cui è analizzato ogni affermazione e ogni proprietà degli enti studiati, anche le proprietà intuitivamente ovvie sono dimostrate; la dimostrazione garantisce sempre la verità di ogni affermazione e quindi toglie ogni dubbio sulla non validità dello stesso.

TRADUZIONE DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE

 a cura  di Fabio Acerbi e Silvio Maracchia.