Il Teorema di Pitagora, applicato in alcuni problemi ma senza dimostrazione anche da geometri cinesi e babilonesi, fece crollare la teoria dei pitagorici basata sui rapporti tra numeri naturali. La scoperta di radice quadrata di 2, rapporto tra diagonale e lato del quadrato, e dei numeri irrazionali diede un duro colpo al ” Tutto è numero ” che spiegava i fenomeni in termini di rapporti razionali.

TEOREMA DI PITAGORA

Enunciato: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

 il teorema di pitagora

Dimostrazione mediante figure equiscomponibili: consideriamo i due quadrati uguali . Da ognuno di essi togliamo poi quattro triangoli rettangoli uguali  ( nel quadrato di sinistra e in quello di destra); è immediato riconoscere che la figura rimanente è il quadrato  costruito sull’ipotenusa di uno qualsiasi dei quattro triangoli rettangoli nel quadrato di sinistra, mentre è la somma dei quadrati , costruiti sui cateti nel quadrato di destra. Per le Nozioni comuni del primo libro degli Elementi di Euclide  in particolare la seconda (“se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali”) e la terza (“se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali”).

 il teorema di pitagora
APPLICAZIONI.

teorema di Pitagora è un risultato fondamentale che riguarda il triangolo rettangolo e che esprime una importantissima relazione tra i lati, in particolare permette di ricavare la misura di uno dei tre lati (ipotenusa o un cateto) conoscendo le misure degli altri due lati.

 il teorema di pitagora

i2 = c12 + c22

 

Estraendo la radice quadrata da entrambi i membri dell’uguaglianza si ha:

i=sqrt{c_1^2+c_2^2}

La misura dell’ipotenusa equivale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei due cateti.

Portando il quadrato di uno dei cateti dall’altro lato dell’uguaglianza ( da addizione diventa sottrazione, si ha:

c12 = i2 – c22     oppure   c22 = i2 – c12

Estraendo la radice quadrata da entrambi i membri dell’uguaglianza si ha:

c_1 = sqrt{{i^2} - {c_2^2}} qquad c_2 = sqrt{{i^2} - {c_1^2}}

La misura di un cateto equivale alla radice quadrata della differenza tra i quadrati delle misure dell’ipotenusa e dell’altro cateto. Questo enunciato è una conclusione diretta del teorema di Pitagora.

Procedimento: calcolo i quadrati, sommo oppure sottraggo, calcolo la radice

ESEMPIO

c1 = 3m  c2 = 4m i = ?

I =  √ 3+ 42 =  √ 9 + 16 =√ 25 = 5 m

i = 13m c1 = 5 m  c2 = ?

c2 =  √ 13 52 =  √ 169 –  25 =√ 144 = 12 m