Il triangolo ha proprietà inesauribili, che portano a concetti superiori, da un semplice poligono di tre lati, fermo o in movimento,  si definiscono e si dimostrano costruzioni di altre figure piane e proprietà in geometria, fisica e chimica.

il triangolo proprietà

Il triangolo proprietà: relazione tra i lati e tra gli angoli.

Lati = AB – BC – CA
Vertici = A – B – C
Angoli = ABC – CAB – ACB

il triangolo

Dati tre segmenti consecutivi non è sempre possibile formare una linea spezzata chiusa, cioè un triangolo. Esempio: AB = 3 cm BC=2 cm CD = 6 cm

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Ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

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La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180° (un angolo piatto).

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L’angolo esterno è congruente
alla somma dei due angoli interni
non adiacenti

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Il triangolo: classificazione rispetto ai lati.

Dati 3 segmenti ci sono solo tre possibilità per chiudere una linea chiusa.

Il triangolo proprietà inesauribili: l’isoscele e sua rotazione intorno al vertice.

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti. AC = BC

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Gli angoli alla base del triangolo
isoscele sono congruenti. A ̂=B ̂

I DIVISORI DI 360 SONO QUELLI DI 60 E LE LOLO COMBINAZIONI 60 = 3 X 4 X 5 

L’angolo giro diviso 5 fa 72°, somma degli angoli interni di un triangolo meno 72° fa 102°, che  diviso per 2 fa 54°. Abbiamo così il triangolo isoscele che ruotando di 72° con centro di rotazione il vertice dell’angolo al vertice genera un pentagono regolare.

L’angolo giro diviso 10 fa 36°, somma degli angoli interni di un triangolo meno 36° fa 144°, che  diviso per 2 fa 72°. Abbiamo così il triangolo isoscele che ruotando di 36° con centro di rotazione il vertice dell’angolo al vertice genera un decagono regolare.

Il triangolo proprietà: l’equilatero,  l’esagono e il cerchio.

Un triangolo si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti.

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Gli angoli del triangolo equilatero sono congruenti e misurano 60°.
180° : 3 = 60°

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L’angolo giro diviso 6 fa 60°, somma degli angoli interni di un triangolo meno 60° fa 120°, che  diviso per 2 fa 60°. Abbiamo così il triangolo equilatero che ruotando di 60° con centro di rotazione un  vertice qualsiasi genera un esagono regolare.

Il triangolo proprietà inesauribili: lo scaleno e la somma di vettori.

Un triangolo si dice scaleno se ha tutti i lati diversi.

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Il triangolo: classificazione rispetto agli angoli.

Siccome la somma degli angoli interni nella geometria di Euclide è 180°, ci sono solo tre possibilita di ottenere questa somma.

Il triangolo proprietà inesauribili: il rettangolo e le funzioni goniometriche.

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.

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Gli angoli acuti del triangolo
rettangolo sono complementari.
C + B = 90°

Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.

il triangolo

Un triangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.

COSTRUZIONE DI UN TRIANGOLO DATI I LATI

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Definizione di altezza.

L’altezza del triangolo è la distanza di un vertice dal lato opposto.
(ricorda che la distanza è perpendicolare alla retta del lato opposto).

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L’ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze.

ANIMAZIONE
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Definizione di mediana.
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La mediana del triangolo è il segmento
che ha per estremi un vertice
e il punto medio del lato opposto.

Il baricentro è il punto di incontro
delle tre mediane.

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ANIMAZIONE

Il baricentro divide ogni mediana in
due parti di cui una, quella che contiene
il vertice, è doppia dell’altra.

Definizione di bisettrice.

La bisettrice del triangolo è la parte di bisettrice compresa tra un vertice e il lato opposto.

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L’incentro è il punto di incontro
delle tre bisettrici.

L’incentro è equidistante dai lati del triangolo e quindi è il centro del cerchio inscritto.

ANIMAZIONE
Definizione di asse.

L’asse del triangolo è l’asse
di ogni suo lato.

Il circocentro è il punto di incontro
dei tre assi del triangolo.

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Il circocentro è equidistante dai vertici
del triangolo e quindi è il centro del
cerchio circoscritto.

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ANIMAZIONE

Nel triangolo equilatero ortocentro, incentro, baricentro e circocentro coincidono.

Qual è il rapporto tra l’area di un triangolo equilatero e quella di un esagono regolare inscritto nello stesso cerchio? L’esagono è formato da sei triangoli isoscele congruenti, tre dei quali costituiscono il triangolo equilatero. Il rapporto tra l’area del triangolo equilatero e quella dell’esagono è  3/6 = 1/2

Nel triangolo isoscele ortocentro, incentro, baricentro e circocentro sono tutti allineati sull’altezza relativa alla base.

Triangoli e poligoni stellati.
Criteri di congruenza e di similitudine dei triangoli.

1°) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo compreso tra essi.

1°) Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente due angoli congruenti.

2°) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato compreso tra essi.

2°) Due triangoli sono simili se:
due lati del primo triangolo sono proporzionali ad altri due lati del
secondo, con lo stesso rapporto;
l’angolo compreso tra i due lati del primo triangolo è congruente all’angolo compreso tra i due lati dell’altro triangolo.

3°) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti tre lati.

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3°) Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali.

Il triangolo proprietà inesauribili: operazioni aritmetiche.

R.Descartes, Opere scientifiche, a cura di E.Lojacono, Torino, UTET 1983.

Sia, per esempio, AB l’unità, e occorra moltiplicare BD
per BC: non debbo far altro che unire i punti A e C, tracciare poi DE
parallela a CA: BE allora sarà il risultato di questa moltiplicazione.
Oppure, se occorre dividere BE per BD, dopo aver uniti i punti E e D,
conduco AC parallela a DE e BC sara il risultato di questa divisione.

se si deve estrarre la radice quadrata della retta GH aggiungo
ad essa, lungo la stessa retta, la porzione FG uguale all’unità e dividendo FH in due parti uguali col punto K, dal centro K traccio il cerchio FIH e poi, innalzando dal punto G una retta fino ad G, perpendicolare a FH, ottengo GI, cioè la radice cercata.