Contents
- Il triangolo proprietà: relazione tra i lati e tra gli angoli.
- Il triangolo: classificazione rispetto ai lati.
- Il triangolo proprietà inesauribili: l’isoscele e sua rotazione intorno al vertice.
- Il triangolo proprietà: l’equilatero, l’esagono e il cerchio.
- Il triangolo proprietà inesauribili: lo scaleno e la somma di vettori.
- Il triangolo: classificazione rispetto agli angoli.
- Il triangolo proprietà inesauribili: il rettangolo e le funzioni goniometriche.
- Definizione di altezza.
- Definizione di mediana.
- Definizione di bisettrice.
- Definizione di asse.
- Triangoli e poligoni stellati.
- Criteri di congruenza e di similitudine dei triangoli.
- Il triangolo proprietà inesauribili: operazioni aritmetiche.
Il triangolo ha proprietà inesauribili, che portano a concetti superiori, da un semplice poligono di tre lati, fermo o in movimento, si definiscono e si dimostrano costruzioni di altre figure piane e proprietà in geometria, fisica e chimica.
Il triangolo proprietà: relazione tra i lati e tra gli angoli.
Lati = AB – BC – CA
Vertici = A – B – C
Angoli = ABC – CAB – ACB
Dati tre segmenti consecutivi non è sempre possibile formare una linea spezzata chiusa, cioè un triangolo. Esempio: AB = 3 cm BC=2 cm CD = 6 cm
Ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180° (un angolo piatto).
L’angolo esterno è congruente
alla somma dei due angoli interni
non adiacenti
Il triangolo: classificazione rispetto ai lati.
Dati 3 segmenti ci sono solo tre possibilità per chiudere una linea chiusa.
Il triangolo proprietà inesauribili: l’isoscele e sua rotazione intorno al vertice.
Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti. AC = BC
Gli angoli alla base del triangolo
isoscele sono congruenti. A ̂=B ̂
I DIVISORI DI 360 SONO QUELLI DI 60 E LE LOLO COMBINAZIONI 60 = 3 X 4 X 5
L’angolo giro diviso 5 fa 72°, somma degli angoli interni di un triangolo meno 72° fa 102°, che diviso per 2 fa 54°. Abbiamo così il triangolo isoscele che ruotando di 72° con centro di rotazione il vertice dell’angolo al vertice genera un pentagono regolare.
L’angolo giro diviso 10 fa 36°, somma degli angoli interni di un triangolo meno 36° fa 144°, che diviso per 2 fa 72°. Abbiamo così il triangolo isoscele che ruotando di 36° con centro di rotazione il vertice dell’angolo al vertice genera un decagono regolare.
Il triangolo proprietà: l’equilatero, l’esagono e il cerchio.
Un triangolo si dice equilatero se ha tutti i lati congruenti.
Gli angoli del triangolo equilatero sono congruenti e misurano 60°.
180° : 3 = 60°
L’angolo giro diviso 6 fa 60°, somma degli angoli interni di un triangolo meno 60° fa 120°, che diviso per 2 fa 60°. Abbiamo così il triangolo equilatero che ruotando di 60° con centro di rotazione un vertice qualsiasi genera un esagono regolare.
Il triangolo proprietà inesauribili: lo scaleno e la somma di vettori.
Un triangolo si dice scaleno se ha tutti i lati diversi.
Il triangolo: classificazione rispetto agli angoli.
Siccome la somma degli angoli interni nella geometria di Euclide è 180°, ci sono solo tre possibilita di ottenere questa somma.
Il triangolo proprietà inesauribili: il rettangolo e le funzioni goniometriche.
Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto.
Gli angoli acuti del triangolo
rettangolo sono complementari.
C + B = 90°
Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso.
Un triangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli acuti.
COSTRUZIONE DI UN TRIANGOLO DATI I LATI
Definizione di altezza.
L’altezza del triangolo è la distanza di un vertice dal lato opposto.
(ricorda che la distanza è perpendicolare alla retta del lato opposto).
L’ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze.
Definizione di mediana.
La mediana del triangolo è il segmento
che ha per estremi un vertice
e il punto medio del lato opposto.
Il baricentro è il punto di incontro
delle tre mediane.
Il baricentro divide ogni mediana in
due parti di cui una, quella che contiene
il vertice, è doppia dell’altra.
Definizione di bisettrice.
La bisettrice del triangolo è la parte di bisettrice compresa tra un vertice e il lato opposto.
L’incentro è il punto di incontro
delle tre bisettrici.
L’incentro è equidistante dai lati del triangolo e quindi è il centro del cerchio inscritto.
Definizione di asse.
L’asse del triangolo è l’asse
di ogni suo lato.
Il circocentro è il punto di incontro
dei tre assi del triangolo.
Il circocentro è equidistante dai vertici
del triangolo e quindi è il centro del
cerchio circoscritto.
Nel triangolo equilatero ortocentro, incentro, baricentro e circocentro coincidono.
Qual è il rapporto tra l’area di un triangolo equilatero e quella di un esagono regolare inscritto nello stesso cerchio? L’esagono è formato da sei triangoli isoscele congruenti, tre dei quali costituiscono il triangolo equilatero. Il rapporto tra l’area del triangolo equilatero e quella dell’esagono è 3/6 = 1/2
Nel triangolo isoscele ortocentro, incentro, baricentro e circocentro sono tutti allineati sull’altezza relativa alla base.
Triangoli e poligoni stellati.
Criteri di congruenza e di similitudine dei triangoli.
1°) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo compreso tra essi.
1°) Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente due angoli congruenti.
2°) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato compreso tra essi.
2°) Due triangoli sono simili se:
due lati del primo triangolo sono proporzionali ad altri due lati del
secondo, con lo stesso rapporto;
l’angolo compreso tra i due lati del primo triangolo è congruente all’angolo compreso tra i due lati dell’altro triangolo.
3°) Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti tre lati.
3°) Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali.
Il triangolo proprietà inesauribili: operazioni aritmetiche.
R.Descartes, Opere scientifiche, a cura di E.Lojacono, Torino, UTET 1983.
Sia, per esempio, AB l’unità, e occorra moltiplicare BD
per BC: non debbo far altro che unire i punti A e C, tracciare poi DE
parallela a CA: BE allora sarà il risultato di questa moltiplicazione.
Oppure, se occorre dividere BE per BD, dopo aver uniti i punti E e D,
conduco AC parallela a DE e BC sara il risultato di questa divisione.
se si deve estrarre la radice quadrata della retta GH aggiungo
ad essa, lungo la stessa retta, la porzione FG uguale all’unità e dividendo FH in due parti uguali col punto K, dal centro K traccio il cerchio FIH e poi, innalzando dal punto G una retta fino ad G, perpendicolare a FH, ottengo GI, cioè la radice cercata.
