All’inizio degli Elementi, Euclide introduce cinque nozioni comuni, principi logici che sono particolarmente importanti nella sua teoria dell’area:
1. Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali anche tra loro.
2. Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalita sono uguali.
3. Se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.
4. Cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.
5. Il tutto e maggiore della parte.

PRECISAZIONI

Il termine “uguali” e indefinito, significa “uguali in un aspetto specifico”, ad esempio segmenti “uguali in lunghezza”, regioni “uguali in area”, ma lunghezza e area non sono numeri, ma grandezze geometriche. La nozione comune n.4 parla di “coincidenza” di quantità geometriche. Si tratta della relazione di congruenza tra figure: due triangoli congruenti (sovrapponibili mediante un movimento secondo Euclide) hanno la stessa area.

Come esempio di applicazione delle nozioni comuni, Euclide dimostra che angoli opposti al vertice sono uguali, sottraendo lo stesso angolo da angoli uguali.

TEOREMA

Due angoli sono opposti al vertice quando hanno i lati uno sul prolungamento dell’altro.

nozioni comuni

Teorema. Ipotesi abbiamo due angoli opposti al vertice; tesi essi sono uguali tra loro.

Tracciamoli, siccome un angolo sotteso da una retta è un angolo piatto, cioè misura 180° abbiamo che

α + β = 180° e che  α’ + β = 180°

Per la prima nozione comune, cose che sono uguali ad una stessa cosa, cioè a 180° , sono uguali tra loro abbiamo che

α + β = α’ + β

Per la terza nozione comune, sottraendo ad entrambi le cose uguali sottraiamo una cosa uguale, cioè   β, abbiamo che

α = α’

c.d.d ( come dovevasi dimostrare )