Rappresentare una funzione: prevedere l’andamento di un fenomeno variabile

Elementi di teoria delle funzioni

Un insieme è una collezione di oggetti – non necessariamente oggetti materiali – descritti in modo tale che sia possibile determinarne o meno l’appartenenza all’insieme stesso. Un insieme è dunque definito dagli elementi che vi appartengono.
• Una funzione è una corrispondenza che assegna ad ogni elemento di un insieme A, un elemento – e soltanto uno – di un altro insieme B.

La regola che individua tale corrispondenza può essere specificata con una formula matematica  del tipo Y = 2 X o con tabelle di coppie numeriche tra loro associate.

Se x è uno degli elementi di A, allora l’elemento appartenente a B che la funzione f associa con x, si denota col simbolo f(x), che si legge “f di x”.

• L’insieme A si chiama il dominio della funzione. L’insieme B costituito da tutti i possibili valori f(x) ottenuti al variare di x nel dominio si chiama codominio della funzione.

rappresentare una funzione

Rappresentare una funzione nel piano cartesiano.

Quando una funzione è definita da una formula matematica, ad esempio f ( x) =  2x + 1, allora x si chiama la variabile indipendente e y=f(x) la variabile dipendente.

• E’ chiaro che non c’è alcun vincolo circa le lettere usate: anche le notazioni x=H(r) o s=s(t) vanno benissimo per indicare eventualmente la stessa regola di composizione algebrica in esame.

• Il modo più conveniente ed usuale per rappresentare una funzione è quello di disegnarne il grafico su un piano individuato da due assi ortogonali tra loro ( il piano cartesiano ) .

L’asse orizzontale serve per fissare un valore della  variabile indipendente x  e si chiama asse delle ascisse, quello verticale serve per fissare il corrispondente valore della variabile dipendente  dopo aver fatto dei calcoli col fissato valore della x  ( y=f(x), y è funzione di x, cioè dipende dal valore di x ), e si chiama asse delle ordinate.

Un tipico punto del grafico di una funzione si indica con la coppia ordinata (a; b) dove il primo numero indica sempre la coordinata x (ascissa), ed il secondo la coordinata y (ordinata).

La rappresentazione di una funzione generica nel piano cartesiano ortogonale individuato da assi e origine: (x, O, y). Si mettono in evidenza due suoi punti tramite le rispettive coordinate (ascissa e ordinata).

rappresentare una funzione

Rappresentare una funzione empirica : diagramma cartesiano

In un grafico empirico i dati della variabile indipendente non sono rapppresentati con continuità, ma solo in determinati momenti.

Variazione della Temperatura media in alcune città nel corso di mesi, i dati sono tabulati, quindi rappresentati come punti in un piano cartesiano e infine si uniscono i punti.

Possiamo leggere l’andamento della misura della temperatura media nel corso dell’anno in tre città, per esempio a Roma da gennaio a luglio il grafico è stato crescente, a luglio la temperatura media è stata massima e tra luglio e dicembre il grafico è stato decrescente

Rappresentare una funzione continua: la retta e la sua inclinazione.

Il secondo postulato della Geometria di Euclide dice che per 2 punti passa una ed una sola retta, pertanto nel piano cartesiano è sufficiente date le coordinate di due punti A ( 3 ; 6 ) e O ( 0 ; 0 ) e unirli con una linea retta continua. Inoltre la relazione tra le coordinate dei punti è lineare, cioè rappresentata da un’equazione di primo grado a due incognite: y = m x + q. Ad esempio la retta nella figura ha equazione y = 2 x , tutti i punti che hanno come ordinata y il doppio dell’ascissa x si troveranno su questa retta.

 

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Rappresentare una funzione continua: i punti di Massimo e di Minimo

 

Rappresentare una funzione periodica

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