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Relazioni di ordine negli insiemi numerici, discreti come N o continui come R, è collegata alla rappresentazione di intervalli limitati o illimitati di numeri su una retta orientata, alla soluzione di disequazioni, alla definizione di dominio di una funzione.
RELAZIONI DI ORDINE
Abbiamo precedentemente trattato gli INSIEMI NUMERICI N, Z e Q, e la RELAZIONE DI ORDINE TRA NUMERI NATURALI.
N ⊂ Z ⊂ Q
L’insieme N è contenuto nell’insieme Z che a sua volta è contenuto nell’insieme Q.
I numeri che appartengono a questi insiemi, di fatto sono numeri che provengono dall’operazione di divisione.
Es: 4: 2 = 2 Numero Naturale. -4: 2 = – 2 Numero Intero. 3 : 4 = 3/4 tre quarti o o,75 Numero frazionario positivo. -3: 4 = – 3/4 meno tre quarti Numero frazionario negativo.
Questi 3 insiemi costituiscono l’insieme dei NUMERI RAZIONALI, numeri che anche se illimitati, cioè composti da infinite cifre come i numeri periodici, siamo tuttavia in grado di immaginare le cifre che li compongono.
RATIO significa RAPPORTO, che è un concetto superiore a quello della divisione in se.
Numeri irrazionali e trascendenti.
I numeri irrazionali sono quelli che provengono dall’operazione di estrazione di radice, l’inversa dell’elevamento a potenza. Sono i radicali che si possono esprimere come potenze ad esponente frazionario. I Pitagorici cercando il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato scoprirono il primo irrazionale, cioè senza rapporto, √2.
L’insieme R comprende anche due numeri trascendenti ∏ ≈ 3,14 che è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, esso, anche se proviene da un rapporto, è composto da infinite cifre che non riusciamo a immaginare.
Il numero di Nepero indicato con la lettera e, è un numero a cui tende una serie illimitata, si studia in analisi matematica ed è la base di una funzione chiamata esponenziale. e ≈ 2,21
Nella rappresentazione di Venn dell’insieme R, che stà sopra, si trovano nella parte colorata di rosa.
Si possono stabilire diverse relazioni tra numeri, una di queste è ordinarli, cioè sapere quale numero viene prima o quale numero viene dopo.
Un insieme di numeri Reali quindi si può ordinare in ordine decrescente o crescente, uno simmetrico all’altro rispetto lo zero,.
-5 < -3 < -1/2 < 0 <+ 1/4 < +2
+2 > +1/ 4 > 0 >-1/2 > – 3 > -5
Rappresentazione dell’insieme R su una retta.
RICORDA le approssimazioni a 2 cifre decimali: ∏ ≈ 3,14 e √2 ≈ 1,41
Relazioni di ordine. Intervalli.
ALGEBRA: si usano delle lettere al posto dei numeri, una lettera, ad esempio a, rappresenta un numero reale qualunque, b un numero reale qualunque diverso da a, e così via.
Intervalli limitati e illimitati.
Ci sono due altri simboli minore o uguale ≤ e maggiore o uguale ≥
Un intervallo di valori, cioè di numeri, è un insieme di numeri che può essere limitato, come un segmento di retta limitato da due punti detti estremi e tuttavia contenente infiniti punti al suo interno, o illimitato, come una semiretta limitata da un punto detto origine e infinita.
Esempi.
X > 5 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri maggiori ( più grandi ) di 5, quindi 5 non è compreso nell’intervallo
X < 8 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri minori ( più piccoli ) di 8, quindi 8 non è compreso nell’intervallo
5< X < 8 è un intervallo limitato formato da tutti i numeri compresi tra 5 ed 8, quindi 5 e 8 non sono compresi nell’intervallo
X ≤ – 3 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri minori o uguali a – 3, quindi -3 è compreso nell’intervallo perché il verso è ≤
X ≥ +2 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri maggiori o uguali a + 2, quindi anche +2 è compreso nell’intervallo perché il verso è ≥
-5 ≤ X ≤ – 3 è un intervallo limitato formato da tutti i numeri maggiori o uguali a – 5 e minori o uguali a -3, si può brevemente dire X è compreso tra – 5 e – 3 estremi inclusi
-5 < X ≤ – 3 si può brevemente dire X è compreso tra – 5 e – 3, -3 incluso perché c’è il simbolo ≤
-5 ≤ X < – 3 si può brevemente dire X è compreso tra – 5 e – 3, -5 incluso perché c’è il simbolo ≤
Rappresentazioni grafiche.
Relazione di ordine.
In matematica una relazione d’ordine di un insieme è una relazione binaria tra elementi appartenenti all’insieme che gode delle seguenti proprietà:
- riflessiva
- antisimmetrica
- transitiva.
Dati 3 elementi dell’insieme M, siano a, b e c. Consideriamo la relazione essere minore o uguale
allora a è uguale ad a
se a è minore o uguale a b allora sarà b maggiore o uguale ad a
Se a è minore o uguale a b e b è minore o uguale a c allora sarà a minore o uguale a c
Insieme A ORDINATO dalla RELAZIONE 
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Supponiamo di avere un caseggiato di più’ piani che abbia una famiglia per ogni piano e considero al relazione “la famiglia X abita allo stesso piano oppure ad un piano superiore della famiglia Y”
la relazione e’ d’ordine: infatti e’ riflessiva, antisimmetrica e transitiva; possiamo ordinare gli elementi come
famiglia del pianterreno, del primo piano, del secondo piano, del terzo piano,
Antisimmetrica: se la famiglia del secondo piano abita ad un piano inferiore della famiglia del terzo piano, allora la famiglia del terzo piano abita ad un piano superiore della famiglia del secondo piano.