Relazioni di ordine negli insiemi numerici, discreti come N o continui come R, è collegata alla rappresentazione di intervalli limitati o illimitati di numeri su una retta orientata, alla soluzione di disequazioni, alla definizione di dominio di una funzione.

RELAZIONI DI ORDINE

Abbiamo precedentemente trattato gli INSIEMI NUMERICI N, Z e Q, e la RELAZIONE DI ORDINE TRA NUMERI NATURALI.

RELAZIONI DI ORDINE TRA NUMERI REALI

N ⊂ Z ⊂ Q

L’insieme N è contenuto nell’insieme Z che a sua volta è contenuto nell’insieme Q.

I numeri che appartengono a questi insiemi, di fatto sono numeri che provengono dall’operazione di divisione.

Es: 4: 2 = 2  Numero Naturale.    -4: 2 = – 2 Numero Intero.    3 : 4 = 3/4 tre quarti o o,75 Numero frazionario positivo.   -3: 4 = – 3/4 meno tre quarti Numero frazionario negativo.

Questi 3 insiemi costituiscono l’insieme dei NUMERI RAZIONALI, numeri che anche se illimitati, cioè composti da infinite cifre come i numeri periodici, siamo tuttavia in grado di immaginare le cifre che li compongono.

RATIO significa RAPPORTO, che è un concetto superiore a quello della divisione in se. 

relazione di ordine
Numeri irrazionali e trascendenti.

I numeri irrazionali sono quelli che provengono dall’operazione di estrazione di radice, l’inversa dell’elevamento a potenza. Sono i radicali che si possono esprimere come potenze ad esponente frazionario. I Pitagorici cercando il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato scoprirono il primo irrazionale, cioè senza rapporto, √2.

L’insieme R comprende anche due numeri trascendenti ∏ ≈ 3,14 che è il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, esso, anche se proviene da un rapporto, è composto da infinite cifre che non riusciamo a immaginare.

Il numero di Nepero indicato con la lettera e, è un numero a cui tende una serie illimitata, si studia in analisi matematica ed è la base di una funzione chiamata esponenziale. e ≈ 2,21

Nella rappresentazione di Venn dell’insieme R, che stà sopra, si trovano nella parte colorata di rosa.

Si possono stabilire diverse relazioni  tra numeri, una di queste è ordinarli,  cioè sapere quale numero viene prima o quale numero viene dopo.

Un insieme di numeri Reali quindi si può ordinare in  ordine decrescente o crescente, uno simmetrico  all’altro rispetto lo zero,.

-5 < -3 < -1/2 < 0 <+ 1/4 < +2 

 +2  >  +1/ 4 > 0 >-1/2 > – 3 > -5

Rappresentazione dell’insieme R su una retta.
RELAZIONI DI ORDINE

RICORDA le approssimazioni a 2 cifre decimali: ∏ ≈ 3,14 e √2 ≈ 1,41

Relazioni di ordine. Intervalli. 

ALGEBRA: si usano delle lettere al posto dei numeri, una lettera, ad esempio a, rappresenta un numero reale qualunque, b un numero reale qualunque diverso da a, e così via.

Intervalli limitati e illimitati.

Ci sono due altri simboli minore o uguale  ≤  e maggiore o uguale  ≥

Un intervallo di valori, cioè di numeri, è un insieme di numeri che può essere limitato, come un segmento di retta limitato da due punti detti estremi e tuttavia contenente infiniti punti al suo interno, o illimitato, come una semiretta limitata da un punto detto origine e infinita.

Esempi.

X > 5 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri maggiori ( più grandi ) di 5, quindi 5 non è compreso nell’intervallo

X < 8 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri minori ( più piccoli ) di 8, quindi 8 non è compreso nell’intervallo

5< X < 8 è un intervallo limitato formato da tutti i numeri compresi tra 5 ed 8, quindi 5 e 8 non sono compresi nell’intervallo

X ≤ – 3 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri minori o uguali a – 3, quindi  -3 è compreso nell’intervallo perché il verso è ≤

X ≥ +2 è un intervallo illimitato formato da tutti i numeri maggiori o uguali a + 2,  quindi  anche +2 è compreso nell’intervallo perché il verso è ≥

-5 ≤ X ≤ – 3 è un intervallo limitato formato da tutti i numeri maggiori o uguali a – 5 e minori o uguali a -3, si può brevemente dire X è compreso tra – 5 e – 3 estremi inclusi

-5 < X ≤ – 3  si può brevemente dire X è compreso tra – 5 e – 3, -3 incluso perché c’è il simbolo ≤

-5 ≤ X < – 3  si può brevemente dire X è compreso tra – 5 e – 3, -5 incluso perché c’è il simbolo ≤

Rappresentazioni grafiche.
relazioni di ordine
INTERVALLI ILLIMITATI
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
INTERVALLI ILLIMITATI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
INTERVALLI LIMITATI
RELAZIONI DI ORDINE
INTERVALLI LIMITATI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Relazione di ordine.

In matematica  una relazione d’ordine di un insieme è una relazione binaria tra elementi appartenenti all’insieme che gode delle seguenti proprietà:

  • riflessiva
  • antisimmetrica
  • transitiva.

Dati 3 elementi dell’insieme M, siano a, b e c. Consideriamo  la relazione essere minore o uguale

allora a è uguale ad a

se a è minore o uguale a allora sarà b maggiore o uguale ad

Se a è minore o uguale a b e b è minore o uguale a c allora sarà a minore o uguale a c

 Insieme A  ORDINATO dalla RELAZIONE erre.

Supponiamo di avere un caseggiato di più’ piani che abbia una famiglia per ogni piano e considero al relazione “la famiglia X abita allo stesso piano oppure ad un piano superiore della famiglia Y”
la relazione e’ d’ordine: infatti e’ riflessiva, antisimmetrica e transitiva; possiamo ordinare gli elementi come
famiglia del pianterreno, del primo piano, del secondo piano, del terzo piano,

Antisimmetrica: se la famiglia del secondo piano abita ad un piano inferiore della famiglia del terzo piano, allora la famiglia del terzo piano abita ad un piano superiore della famiglia del secondo piano.