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FUNZIONI: relazioni tra grandezze geometriche o fisiche
Funzioni: esempi.
SAPPIAMO CHE IL PREZZO CHE PAGHIAMO QUANDO COMPRIAMO AD ESEMPIO IL PANE DIPENDE DA DUE FATTORI IL COSTO AL CHILO E IL PESO DEL PANE COMPRATO.
CHIAMIAMO y IL PREZZO VARIABILE ( che cambia ), CONSIDERIAMO IL COSTO AL CHILO UN VALORE CHE RIMANE COSTANTE ( cioè non cambia, almeno per un certo tempo e nello stesso negozio ) ad es. 2,00 €/kg SUPPONIAMO DI COMPRARE PESI CHE VARIANO, CHIAMIAMOLI x.
AVREMO LA FUNZIONE Y = 2 X
X SI CHIAMA VARIABILE INDIPENDENTE E PUO’ ASSUMERE, RELATIVAMENTE A UN PERIODO DI TEMPO, QUALSIASI VALORE NELL’INSIEME DEI NUMERI DECIMALI A DUE CIFRE ED E’ UN PESO, I VALORI CHE PUO’ ASSUMERE, COSTITUISCONO L’INTERVALLO DI DEFINIZIONE O DOMINIO.
Y SI CHIAMA VARIABILE DIPENDENTE E PUO’ ASSUMERE QUALSIASI VALORE NELL’INSIEME DEI NUMERI DECIMALI A DUE CIFRE, E’ ESPRESSA IN EURO, I VALORI CHE ESSA ASSUME COSTITUISCONO IL CAMPO DI VARIAZIONE O CODOMINIO
VEDIAMO ALTRI ESEMPI DI RELAZIONI: IL PREZZO DELLA BENZINA CON QUELLO DEL PETROLIO; LA TEMPERATURA DI UNA LOCALITA’ CON LA SUA ALTITUDINE; LA VELOCITA’ DI UN AUTOMOBILE CON LA SUA CILINDRATA; L’AREA DI UN QUADRATO CON LA LUNGHEZZA DEL SUO LATO.
Funzioni e loro rappresentazioni.
RAPPRESENTAZIONE TABULARE O NUMERICA
POSSIAMO COSTRUIRE UNA TABELLA A DUE COLONNE, DOVE NELLA
PRIMA METTIAMO IL PESO CHE COMPRIAMO E NELLA SECONDA IL
PREZZO CHE PAGHIAMO
RAPPRESENTAZIONE FUNZIONALE
CHIAMIAMO X VARIABILE INDIPENDENTE E Y VARIABILE DIPENDENTE. POSSIAMO SCRIVERE.
Y = 2 x
LA X PUÒ ASSUMERE VALORI NEGATIVI E POSITIVI GRANDI COME VOGLIAMO NEL CAMPO DEI NUMERI REALI, IN TEORIA UN VALORE GRANDISSIMO, E COSÌ PURE LA Y. QUESTO TIPO DI FUNZIONI SI CHIAMANO FUNZIONI LINEARI, PERCHE’ I VALORI DELLA X SONO AL PRIMO GRADO E QUELLI DELLA Y RAPPRESENTANO UNA LINEA RETTA NEL PIANO CARTESIANO.
CONSIDERIAMO UNA FUNZIONE CHE CALCOLA IL QUADRATO DI UN
NUMERO
f : x → x 2 y = f(x) = x 2
IN QUESTO CASO LA X PUÒ ASSUMERE VALORI NEGATIVI E POSITIVI
GRANDI COME VOGLIAMO NEL CAMPO DEI NUMERI REALI E COSÌ LA Y.
QUESTO TIPO DI FUNZIONI SI CHIAMANO FUNZIONI QUADRATICHE, PERCHE’ I VALORI DELLA X SONO AL SECONDO GRADO E QUELLI DELLA Y RAPPRESENTANO UNA CONICA NEL PIANO CARTESIANO, IN QUESTO CASO UNA PARABOLA.
IN GENERALE SI DICE CHE LA Y è FUNZIONE DELLA X E SI SCRIVE y=f(x)
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA.
UNA FUNZIONE SI Può RAPPRESENTARE SU UN PIANO CARTESIANO DOVE NELL’ASSE DELLE X METTIAMO LA VARIABILE INDIPENDENTE E NELL’ASSE DELLE Y LA VARIABILE DIPENDENTE.
Y = 2 x È UNA FUNZIONE LINEARE E IL SUO GRAFICO È UNA RETTA. SI DICE CHE Y È DIRETTAMENTE PROPORZIONALE A Y.
y = x2 È UNA FUNZIONE QUADRATICA E IL SUO GRAFICO È UNA PARABOLA.
Concetto di funzione: definizione
SIANO S E T DUE INSIEMI. SI DICE CHE IN S È DEFINITA UNA FUNZIONE A VALORI IN T SE È FISSATA UNA LEGGE CHE AD OGNI ELEMENTO DI S FA CORRISPONDERE UNO ED UNO SOLO ELEMENTO DI T ( corrispondenza biunivoca tra S e T).
IN SIMBOLI SI SCRIVE f: S→ T.
S PUÒ ANCHE ESSERE VISTO COME L’INSIEME DI TUTTI I PUNTI DELL’ASSE DELLE ASCISSE DI UN PIANO CARTESIANO, E T COME L’INSIEME DI TUTTI I PUNTI DELL’ASSE DELLE ORDINATE.
LA X ELEMENTO APPARTENENTE ALL’INSIEME S SI CHIAMA VARIABILE INDIPENDENTE, LA Y ELEMENTO APPARTENENTE ALL’INSIEME T SI CHIAMA VARIABILE DIPENDENTE.
SI DEFINISCE FUNZIONE Y DELLA VARIABILE X UNA RELAZIONE FRA DUE VARIABILI, UNA DETTA VARIABILE INDIPENDENTE X E L’ALTRA DETTA VARIABILE DIPENDENTE Y, TALI CHE ABBIANO SENSO LE OPERAZIONI DA EFFETTUARE SULLA X PER OTTENERE I VALORI DELLA Y E PER OGNI VALORE DELLA X CORRISPONDA UNO ED UNO SOLO VALORE DELLA Y.
SI SCRIVE y=f(x) E SI LEGGE y È FUNZIONE DI x.
Funzioni: dominio e codominio.
IL CONCETTO DI FUNZIONE È UNO DEI PIÙ IMPORTANTI PER LA MATEMATICA E TUTTE LE DISCIPLINE SCIENTIFICHE: INFATTI LA MATEMATICA CERCA LE CAUSE, ( perchè ) LE IMPLICAZIONI, ( le relazioni ) LE CONSEGUENZE ( cosa può succedere ) E L’UTILITÀ ( a che può servire ) DI UNA FUNZIONE.
L’INSIEME DEI VALORI CHE PUÒ ASSUMERE X (S) È DETTO “DOMINIO” DELLA VARIABILE INDIPENDENTE OPPURE “CAMPO DI ESISTENZA” DELLA FUNZIONE; L’INSIEME DEI VALORI ASSUNTI DALLA VARIABILE DIPENDENTE Y È DETTO CAMPO DI VARIABILITÀ DELLA FUNZIONE OPPURE “CODOMINIO“.
SI CHIAMA GRAFICO O DIAGRAMMA DI UNA FUNZIONE IL SOTTOINSIEME G DEL PRODOTTO CARTESIANO X ( S ) x Y ( T ) COSTITUITO DA TUTTE LE COPPIE DEL TIPO (X, F(X)) AL VARIARE DI X IN S.
Teoria delle Funzioni
Un insieme è una collezione di oggetti – non necessariamente oggetti materiali – descritti in modo tale che sia possibile determinarne o meno l’appartenenza all’insieme stesso. Un insieme è dunque definito dagli elementi che vi appartengono.
• Una funzione è una corrispondenza che assegna ad ogni elemento di un insieme A, un elemento – e soltanto uno – di un altro insieme B.
La regola che individua tale corrispondenza può essere specificata con una formula matematica del tipo Y = 2 X o con tabelle di coppie numeriche tra loro associate.
Se x è uno degli elementi di A, allora l’elemento appartenente a B che la funzione f associa con x, si denota col simbolo f(x), che si legge “f di x”.
• L’insieme A si chiama il dominio della funzione. L’insieme B costituito da tutti i possibili valori f(x) ottenuti al variare di x nel dominio si chiama codominio della funzione.
FUNZIONI E FORMULE MATEMATICHE
Quando una funzione è una formula matematica, come f ( x) = 2x + 1, allora x si chiama la variabile indipendente e y=f(x) la variabile dipendente.
E’ chiaro che non c’è alcun vincolo circa le lettere usate: anche le notazioni x=H(r) o s=s(t) vanno benissimo per indicare eventualmente la stessa regola di composizione algebrica in esame.
Il modo più conveniente ed usuale per rappresentare una funzione è quello di disegnarne il grafico su un piano individuato da due assi ortogonali tra loro ( il piano cartesiano ) .
L’asse orizzontale serve per fissare un valore della variabile indipendente x , quello verticale serve per fissare il corrispondente valore della variabile dipendente dopo aver fatto dei calcoli col fissato valore della x ( y=f(x), y è funzione di x, cioè dipende dal valore di x ).
Un punto del grafico di una funzione si indica con la coppia ordinata (a; b) dove il primo numero indica sempre la coordinata x (ascissa), ed il secondo la coordinata y (ordinata).
La rappresentazione di una funzione generica o grafico nel piano cartesiano ortogonale individuato da assi e origine: (x, O, y). Si mettono in evidenza due suoi punti tramite le rispettive coordinate (ascissa e ordinata).