la retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano: una equazione algebrica di I grado a due incognite si può rappresentare ( disegnare, tracciare ) in un piano cartesiano. Per il secondo postulato di Euclide basta rappresentare due punti con le loro coordinate e poi con un righello tracciare la retta che passa per essa. Sappiamo con l’analisi indeterminata di una equazione algebrica a due incognite è indeterminata, cioè ha come soluzioni infinite coppie di numeri ( X; Y ) soddisfano l’equazione, cioè la rendono uguale a zero. Queste infinite coppie di numeri sono le coordinate degli infiniti punti della retta che rappresenta l’equazione. 

Analisi indeterminata di una equazione di I grado a due incognite. La retta nel piano cartesiano.

2 x – y = 8

ASSEGNAMO UN VALORE NUMERICO A NOSTRO PIACERE ALLA VARIABILE INDIPENDENTE X. RISOLVENDO L’EQUAZIONE DI I GRADO NELLA VARIABILE DIPENDENTE X TROVEREMO SEMPRE UN VALORE NUMERICO.

PER X= 0                      Y= (8 ) : ( – 1) = -8

PER X= + 1                      Y= (8 -2) : ( – 1) = -6

PER X = +5                   Y= (8-10) : ( – 1) = +2

PER X=+ 6                  Y= (8-12) : ( – 1) = +4

TROVEREMO INFINITE COPPIE DI VALORI CHE RAPPRESENTATI IN UN PIANO CARTESIANO SONO TUTTI ALLINEATI, E QUINDI UNENDOLI SI TRACCIA UNA LINEA RETTA,

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO. FORMA TIPICA: IMPLICITA O ESPLICITA.

La forma implicita ha al  primo membro le 2 incognite ( x e y ) coi loro coefficienti ( a e b )e il termine noto ( c)  questa equazione viene posta uguale a zero che si trova al secondo membro. 

a x + by + c = 0 

La forma esplicita ha l’incognita y, chiamata variabile dipendente, con coefficiente 1 isolata al primo membro e al secondo membro ci sono la x, chiamata variabile indipendente, con il suo coefficiente m, chiamato coefficiente angolare, e un termine noto q, chiamato ordinata all’origine.

y = m x + q

I coefficienti delle due forme tipiche sono algebricamente in relazione, calcoliamo le formule. Partiamo dalla forma implicita ed isoliamo la y a primo membro e poi dividiamo entrambi i membri peril suo coefficiente.

a x + by + c = 0   by = – ax – b     y = -a /b x -c/b

Quindi se rappresentiamola stessa retta dovrà essere

m = -a/b  e q = -c/b

IL COEFFICIENTE ANGOLARE m:
determina l’inclinazione della retta rispetto l’asse X (se è positivo la retta sarà inclinata verso destra e farà un angolo acuto con l’asse delle x; se è negativo sarà inclinata verso sinistra e farà un angolo ottuso con l’asse delle x.

L’ORDINATA ALL’ORIGINE q

indica l’ordinata del punto d’intersezione fra la retta e l’asse delle Y, nel senso che la retta incontrerà l’asse y, nel punto di coordinate (0 ; q).

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO. IL COEFFICIENTE ANGOLARE.

Supponiamo che 2 punti generici appartengono alla stessa retta       y = mx + q.

I 2 punti generici hanno coordinate      A ( xa ; ya ) e B ( xb ; yb ). 

SE i punti A e B si trovano sulla retta ALLORA le loro coordinate dovranno soddisfare l’equazione della retta, cioè sostituendole a x e a y l’equazione diventa una identità. Questa si chiama  CONDIZIONE DI APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA.

Dunque  ya = m xa + q  PASSAGGIO DELLA RETTA PER IL PUNTO A   e     yb = m xb + q PASSAGGIO PER IL PUNTO B

Portiamo ( isoliamo ) q a secondo membro  q =ya – m xa  e      q = yb – m xb  

per una NOZIONE COMUNE  abbiamo      ya – m xa  = yb – m xb

In questa equazione di I grado l’incognita è m portiamola a i membro e i termini noti a secondo membro ( ricorda il coefficiente va prima dell’incognita):       xb m -xa m = yb – ya

Per la proprietà distributiva della moltiplicazione che in algebra si chiama METTERE IN EVIDENZA abbiamo:  (xb – xa )  m = yb – ya

Dividiamo per il coefficiente di m e abbiamo  m = yb – ya / xb – xa

TROVARE IL VALORE DEL COEFFICIENTE ANGOLARE DA UNA RETTA TRACCIATA NEL PIANO.

MEDIANTE IL GRAFICO. Per trovare  il coefficiente angolare di una retta, cioè l’inclinazione della retta sull’asse delle x, partendo dal punto trovato sull’asse delle y, cioè l’ORDINATA ALL’ORIGINE q, ci si sposta in orizzontale di tanto quanto ne indica il denominatore, e in verticale i quanto ne indica il numeratore del coefficiente angolare, vedi figura a lato.

Questo metodo si può usare anche per tracciare una retta.

A ( + 2 ; + 7 ) B ( 0 ; +4)

Calcoliamo m           m = ( +7 – 4 ) / +2 – 0 = +3 / + 2 = 3/2

la retta nel piano cartesiano
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO. DISEGNARE ( TRACCIARE )

Vogliamo tracciare la retta di equazione

y = −2x + 1

Attribuiamo due valori scelti a piacere alla variabile x e ricaviamo i valori corrispondenti di y.

Se x = 0 allora y = -2 (0) +1 = +1

Se x = +1  allora y = -2 (+1) + 1 = -2 + 1 = -1

la retta nel piano cartesiano
CON IL METODO GRAFICO: Troviamo sul piano l’ordinata all’origine Q ( 0; +1 ) Se m= -2 allora il suo denominatore è 1. Dunque partendo dal punto Q ci spostiamo di +1 a destra in orizzontale, dal punto trovato siccome m=-2, cioè negativo, dobbiamo andare in basso di 2 unità. Troviamo cosi un secondo punto appartenente alla retta, con un righello uniamo questo punto al punto Q è tracciamo la retta che ha come equazione 

y = −2x + 1

Verifica con geogebra
PENDENZA DI UNA RETTA E DI UNA STRADA.
In un grafico la pendenza è data dal rapporto tra variazione dell’ordinata e variazione dell’ascissa. Indicando l’ ascissa e l’ordinata con le variabili x e y, possiamo scrivere:
retta F: y = o,5 x = 1/2 x
retta G: y=x   
retta H: y= 1,5 x = 3/2 x 
retta K: y = 2x 
la retta nel piano cartesiano
Ogni tratto di strada può essere caratterizzato indicando di quanti metri la salita s’innalza per ogni 100 metri di avanzamento in orizzontale.
Il cartello stradale a lato indica la presenza di un tratto di strada pericoloso con pendenza dell’8 % = 8/100 = 4/50= 2/25 = 0,08.
Y = 2/25 X
Per comprendere meglio il concetto di pendenza, al lato del cartello la strada viene rappresentata come un triangolo rettangolo di 100 unità di base e l’altezza di 8 unità. La pendenza è data dal rapporto tra spostamento verticale (8) e spostamento orizzontale (100). In questo caso è di
8/100= 0.08 = 8 centesimi = 8 %.
Quindi percorrendo un tratto di discesa corrispondente ad uno spostamento orizzontale di 25 metri mi abbasso di 8 centesimi di 25 metri, cioè di 25 x 0.08 = 2 metri
Le pendenze stradali (raramente superiori al  10%) non mostrano grande differenza tra lunghezza percorsa (ipotenusa) e avanzamento orizzontale (base). Il triangolo della figura, ad esempio, ha la base e il lato obliquo (ipotenusa) di lunghezza pressoché uguale: se il cateto di base misura 100 x 1 mm il lato obliquo, cioè l’ipotenusa, misura 100 x 3 mm.
 
la retta nel piano cartesiano
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO CON EXCEL.

Costruisci una colonna di valori per la x partendo da un numero negativo (es. -4). I valori della y sono determinati dalla formula immessa prima nella cella B8, poi copiata nelle altre celle sottostanti.
Formula in B8:   =A8*$B$4+$B$5
Come vedi le celle B4 e B5 contengono rispettivamente i valori di q che puoi cambiare a piacimento.
Seleziona le celle A8:B16 e lavora con autocomposizione grafico.
Il grafico scelto è Dispers. (xy) (quello centrale).