Le Coniche di Apollonio di Perga (262 a.C. – 190 a.C.) è l’opera di geometria classica che studia queste curve in maniera approfondita. Il suo testo, esattamente i primi quattro Libri,  furono tradotti  dal greco in latino da Giovan Battista Memmo nel 1537. I libri V, VI e VII delle Coniche ci sono pervenuti solo in traduzione araba. Alcuni matematici, come ad esempio Maurolico ( Messina, 1494, 1575  ), a partire dai contenuti noti dei Libri V e VI, tentarono di ricostruirli prima che la traduzione araba di Apollonio veniva  conosciuta in Europa .

LE CONICHE DI APOLLONIO.

Apollonio inizia Le sue Coniche con la definizione più scientifica di cono, mai data in precedenza. Se, dice, una retta di lunghezza infinita e passante sempre per un punto fisso, si muove  intorno alla circonferenza di un cerchio che non è sullo stesso piano del punto fisso, in modo da passare successivamente per ogni punto di quella circonferenza, la linea retta in movimento traccerà la superficie di un doppio cono, cioè due coni simili che giacciono in direzioni opposte e si incontrano nel punto fisso, che è il vertice di ciascun cono. Il cerchio attorno al quale si muove la retta è chiamato la base del cono compreso tra detto cerchio e il punto fisso, e l’asse è definito come la retta tracciata dal punto fisso, o vertice, al centro del cerchio che è la base. Apollonio prosegue dicendo che il cono può essere scaleno oppure obliquo tranne nel caso particolare in cui l’asse è perpendicolare alla base. In quest’ultimo caso è un cono retto.

Apollonio  fu il primo a esporre la teoria completa della generazione delle coniche  per mezzo di sezioni non perpendicolari al lato del cono, e da coni che in generale sono coni circolari obliqui.

LE CONICHE IN EUCLIDE.

Euclide segue la tradizione delle definizioni, date da un allievo del filosofo Platone, Menecmo (380 a.C. ca. – 320 a.C. ca.), che  per primo scrisse sulle sezioni coniche. Menecmo aveva risolto il problema della duplicazione del cubo: trovare lo spigolo di un cubo che ha un volume doppio di un cubo dato. Egli si servì della parabola e dell’iperbole, per risolvere il problema noto anche come  problema di Delo.

Le definizioni di cono sono nel libro XI ( DEFINIZIONI 18 – 20 ) degli Elementi.

Def.18: Cono è, quando stando fermo un solo lato di quelli attorno all’angolo retto di un triangolo rettangolo, il triangolo ruotato torna di nuovo nello stesso luogo da cui aveva iniziato a muoversi, la figura circondata. E, se la retta che rimane ferma è uguale alla restante, quella che ruota intorno all’angolo retto, il cono sarà rettangolo; se minore, ottusangolo; e se maggiore, acutangolo.
Def.19:L’asse del cono è la retta che rimane ferma e attorno alla quale gira il triangolo.

Def.20: E la base è il cerchio tracciato dalla retta che ruota.

( traduzione di Silvio Maracchia )

Definizione: il cono è il corpo solido  che si ottiene facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno a un cateto. A seconda che il cateto fisso sia quello minore o quello maggiore si ottiene, secondo la definizione di Euclide, un cono rispettivamente ottusangolo o acutangolo (in base cioè, all’angolo al vertice del cono). Se invece il triangolo rettangolo che viene ruotato `e isoscele si ottiene un cono rettangolo.

Le sezioni coniche (che solo in seguito saranno chiamate ellisse, parabola e iperbole) si ottengono come sezioni con un piano perpendicolare al lato del cono, rispettivamente quando il cono è acutangolo, rettangolo o ottusangolo. 

LE CONICHE DI APOLLONIO
LE CONICHE IN ARCHIMEDE.

Archimede chiamava il cono retto cono isoscele. Questo fatto, unito alla presenza nel suo trattato On Conoids and Spheroids (7, 8, 9) di sezioni di  coni acutangoli  (ellissi) come sezioni di superfici coniche che ha già  dimostrato essere coni circolari obliqui trovando le loro sezioni circolari. Questo fatto rende sufficientemente chiaro che Archimede, se avesse definito un cono, lo avrebbe definito allo stesso modo di Apollonio.

LE CONICHE DI APOLLONIO. NOVITA’.