Sistemi equazioni di I grado a 2 incognite: studiamo quelli a coefficienti interi.

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE CON COEFFICIENTI INTERI.

I SISTEMI POSSONO AVERE COME COEFFICIENTI DELLE INCOGNITE: FRAZIONI, RADICALI O ANCHE DELLE LETTERE.

IN GENERALE UN SISTEMA DI EQUAZIONI E’ L’INSIEME DI PIU’ EQUAZIONI A PIU’ INCOGNITE, LE EQUAZIONI SONO CIASCUNA SODDISFATTA DALLO STESSO GRUPPO DI SOLUZIONI. IL GRADO DEL SISTEMA E’ IL GRADO MASSIMO DELLE SUE EQUAZIONI. ESISTONO  SISTEMI A TRE, QUATTRO … INCOGNITE, MA NON SEMPRE ESISTE UN METODO DI SOLUZIONE.

ANALISI INDETERMINATA DI UNA EQUAZIONE DI I GRADO A DUE INCOGNITE.

2 x – y = 8

ASSEGNAMO UN VALORE NUMERICO A NOSTRO PIACERE ALLA VARIABILE INDIPENDENTE X. RISOLVENDO L’EQUAZIONE DI I GRADO NELLA VARIABILE DIPENDENTE X TROVEREMO SEMPRE UN VALORE NUMERICO.

PER X= 0                      Y= (8 ) : ( – 1) = -8

PER X= + 1                      Y= (8 -2) : ( – 1) = -6

PER X = +5                   Y= (8-10) : ( – 1) = +2

PER X=+ 6                  Y= (8-12) : ( – 1) = +4

TROVEREMO INFINITE COPPIE DI VALORI CHE RAPPRESENTATI IN UN PIANO CARTESIANO SONO TUTTI ALLINEATI, E QUINDI UNENDOLI SI TRACCIA UNA LINEA RETTA,

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE CON COEFFICIENTI INTERI. POSSIBILI SOLUZIONI

UN SISTEMA DI EQUAZIONI PUO’ ESSERE:

  • DETERMINATO QUANDO AMMETTE UNA SOLUZIONI IN NUMERO FINITO
  • INDETERMINATO QUANDO AMMETTE INFINITE SOLUZIONI
  • IMPOSSIBILE QUANDO NON AMMETTE SOLUZIONI

PENSANDO ALLE POSIZIONI DI DUE RETTE NEL PIANO CARTESIANO CI SONO TRE POSSIBILTA’: SI INCONTRANO IN UN PUNTO, QUINDI IL SISTEMA CORRISPONDENTE HA UNA SOLUZIONE; SONO PARALLELE E NON SI INCONTRANO MAI, IL SISTEMA E’ IMPOSSIBILE, SONO SOVRAPPOSTE. IL SISTREMA E’ INDETERMINATO.

CRITERIO PER STABILIRE A PRIORI CHE TIPO DI SOLUZIONI HA UN SISTEMA.

SISTEMI DI EQUAZIONI i GRADO 2 INCOGNITE
SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. SOSTITUZIONE.

IL METODO DI SOSTITUZIONE È IL PIÙ SEMPLICE.
1) RISOLVIAMO ( si dice  esplicitiamo ) UNA DELLE DUE ’EQUAZIONI RISPETTO AD UN’INCOGNITA A PIACERE.

CIOÈ A I MEMBRO ( a sinistra del segno = )  SI LASCIA UN’INCOGNITA (  IN QUESTO CASO LA X ) E SI TRASPORTA TUTTO AL II MEMBRO ( dopo il segno = ). ABBIAMO A II MEMBRO UNA ESPRESSIONE ( LA 3 ) DOVE COMPARIRÀ ANCHE L’ALTRA INCOGNITA (IN QUESTO CASO LA Y ).

1 )     2 X + 3 Y = 23

2 )     5 X -2 Y = 10

DALLA 1 )  2X = 23 – 3Y

X = ( 23 – 3Y ) : 2

CHE CHIAMO 3 )

2) QUESTA ESPRESSIONE ( LA 3)  TROVATA DELLA PRIMA INCOGNITA ( IN QUESTO CASO DELLA X ) SI SOSTITUISCE NELL’ALTRA EQUAZIONE DEL SISTEMA AL POSTO DELLA PRIMA INCOGNITA ( CIOE’ DELLA X ). 

SOSTITUISCO LA 3) NELLA 2) AVREMO

[5 * ( 23 – 3Y )]/  2  – 2 Y = 10

3) ADESSO ABBIAMO UN’EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NELLA SECONDA INCOGNITA ( IN QUESTO CASO LA Y ) E POSSIAMO RISOLVERLA.

[5 * ( 23 – 3Y )]/  2  – 2 Y = 10

MOLTIPLICO TUTTO PER 2

  5 *( 23 -3Y) -4 Y= 20

115 -15Y -4Y= 20     

-19 Y = 20 – 115 

Y = -95/-19 = +5 

CHE CHIAMO 4)

4) TROVIAMO LA SOLUZIONE DI QUESTA EQUAZIONE DI PRIMO GRADO LA 4) ( IN QUESTO CASO CON INCOGNITA Y ) E LA SOSTITUIAMO NELLA ESPRESSIONE TROVATA PRIMA (LA 3 ) CHE DIVENTA UN’EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NELLA PRIMA INCOGNITA ( IN QUESTO CASO IN X ) CHE POSSIAMO RISOLVERE.

SOSTITUISCO LA 4) NELLA 3) AVREMO       

X = ( 23 -15)/2= 8/2 = 4

LA SOLUZIONE DUNQUE E’

X= 4    Y = 5

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. CONFRONTO.

IL METODO DI CONFRONTO È SIMILE  AL PRECEDENTE. SI SERVE  DELLA NOZIONE COMUNE

SE A = B E  A = C,  ALLORA B = C.

RISOLVIAMO ENTRAMBE LE EQUAZIONI RISPETTO ALLA STESSA VARIABILE ( SI ISOLA AL I MEMBRO, IN QUESTO CASO X ), E POI SI UGUAGLIANO I SECONDI MEMBRI.

SI OTTIENE UNA EQUAZIONE DI I GRADO NELLA SECONDA VARIABILE ( IN QUESTO CASO Y ) E LA RISOLVIAMO.

IL VALORE DELL’ INCOGNITA TROVATO ( IN QUESTO CASO DELLA Y ) SI SOTITUISCE, COME TI  PIACE,  IN UNA DELLE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA.

1 )  2X + 3 Y = 23

2 ) 5X-2Y=10

1) X = ( 23 – 3Y ) : 2 

2) X = ( 10 +2Y ) : 5 

 ALLORA ABBIAMO 

( 23 – 3Y ) : 2 = ( 10 +2Y ) : 5   

CIOE’ UNA EQUAZIONE DI I GRADO IN Y. LA RISOLVIAMO.

APPLICO IL PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE: MOLTIPLICO TUTTI E DUE ( entrambi) I MEMBRI PER 10 ( CHE E’ IL m.c,m TRA 2 E 5)

 10 * ( 23 – 3Y )/ 2 = 10 * ( 10 +2Y )/ 5 

SEMPLIFICO  5 *( 23 – 3Y ) = 2 * ( 10 +2Y )

115 -15Y = 20 +4Y        -15 Y -4Y = 20 – 115   

-19Y = -95         Y = -95/-19 = +5  

SOSTITUISCO Y = 5 IN 1) OPPURE IN 2)

DALLA 2 ) ABBIAMO 

X = ( 10 + 10 ) : 5 = 20 : 5 = 4 

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’ X= 4    Y = 5

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE.

IL METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE O DI COMBINAZIONE LINEARE SPESSO RISULTA PIÙ SEMPLICE DA APPLICARE. QUESTO ACCADE QUANDO I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE IN ENTRAMBE LE EQUAZIONI HANNO LO STESSO VALORE ASSOLUTO.

1 )  2X + 3 Y = 23

2 )  -2X  -2Y=10

SE I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE ( IN QUESTO CASO DELLA X ) SONO OPPOSTI ALLORA ADDIZIONO MEMBRO A MEMBRO LE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA. ABBIAMO

 2X + 3 Y  -2X  -2Y = 23 +10 

LA X SI ANNULLA E RESTA UNA EQUAZIONE DI PRIMO GRADO IN Y

3Y-2Y = 23 +10      QUINDI  Y = 33      

SOSTITUISCO QUESTO VALORE DELLA Y IN UNA DELLE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA  AD ESEMPIO NELLA 1)

2X +3 ( +33) = 23           2X = 23 – 99        2X = -76                         X = – 38    

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’  X= -38  Y= 33

1 )  2X + 3 Y = 20

2 ) +2X  -2Y=10

SE I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE ( IN QUESTO CASO DELLA X ) SONO UGUALI ALLORA SOTTRAGGO MEMBRO A MEMBRO LE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA. ABBIAMO

 2X + 3 Y  – (+2X  -2Y )= 20 – ( +10 )       2X + 3Y-2X+2Y= 20-10   

LA X SI ANNULLA E RESTA UNA EQUAZIONE DI PRIMO GRADO IN Y

3Y+2Y = 20 -10       5Y = 10   Y = 10/5  Y = 2

SOSTITUISCO QUESTO VALORE DELLA Y IN UNA DELLE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA  AD ESEMPIO NELLA 2)

2X -2 ( 2) = 10         2X  – 4 = 10       2 X = 10-4       X= 3

 LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’  X= 3  Y= 2

COMBINAZIONE LINEARE.

SE I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE HANNO VALORE ASSOLUTO DIVERSO ALLORA SI FA UNA COMBINAZIONE LINEARE, CHE SI BASA SUL PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE: SE MOLTIPLICHIAMO PER UNO STESSO NUMERO UNA EQUAZIONE SI HA UNA EQUAZIONE EQUIVALENTE, CIOE’ CHE HA LE STESSE SOLUZIONI.  

SISTEMA EQUAZIONI I GRADO A 2 INCOGNITE

 INVERTIAMO I VALORI ASSOLUTI DEI COEFFICIENTI DELLE DUE INCOGNITE IN ENTRAMBI LE EQUAZIONI E PREPARIAMO UNA TABELLA A DUE COLONNE, COME SI VEDE IN FIGURA. 

MOLTIPLICHIAMO PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA X DELLA SECONDA EQUAZIONE LA PRIMA EQUAZIONE E PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA X DELLA PRIMA EQUAZIONE LA SECONDA EQUAZIONE. 

IN QUESTO ESEMPIO MOLTIPLICHIAMO LA PRIMA EQUAZIONE PER 5 E LA SECONDA PER 2. SI HA COSI’ UN SISTEMA EQUIVALENTE A QUELLO DI PARTENZA E POSSIAMO APPLICARE IL METODO DI SOTTRAZIONE. TROVANDO IL VALORE DELL’INCOGNITA Y.

SISTEMA i GRADO A 2 INCOGNITE

MOLTIPLICHIAMO PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA Y DELLA SECONDA EQUAZIONE LA PRIMA EQUAZIONE E PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA Y DELLA PRIMA EQUAZIONE LA SECONDA EQUAZIONE. 

IN QUESTO ESEMPIO MOLTIPLICHIAMO LA PRIMA EQUAZIONE PER 2 E LA SECONDA PER 3. SI HA COSI’ UN SISTEMA EQUIVALENTE A QUELLO DI PARTENZA E POSSIAMO APPLICARE IL METODO DI ADDIZIONE, TROVANDO IL VALORE DELL’INCOGNITA X.

SISTEMI DI EQUAZIONI i GRADO 2 INCOGNITE
I DETERMINANTI.

SONO SCRITTURE DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE. IL NUMERO DELLE RIGHE E’ UGUALE A QUELLO DELLE COLONNE E SI CHIAMA ORDINE DEL DETERMINANTE.

SISTEMI DI EQUAZIONI i GRADO 2 INCOGNITE
SISTEMI DI EQUAZIONI i GRADO 2 INCOGNITE

DETERMINANTE DEL II ORDINE

PER CALCOLARE UN DETERMINANTE SI FA COSI’:

  1. MOLTIPLICA GLI ELEMENTI PRESENTI SULLA DIAGONALE DELLA TABELLA CHE PARTE DA IN BASSO A DESTRA (FARE CIOÈ  a1 * b2
  2. MOLTIPLICA GLI ELEMENTI PRESENTI SULLA DIAGONALE DELLA TABELLA CHE PARTE DA IN BASSO A SINISTRA (FARE CIOÈ b1 * a2
  3. SOTTRAI IL SECONDO NUMERO AL PRIMO.
SISTEMI DI EQUAZIONI i GRADO 2 INCOGNITE
SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. CRAMER.

IL METODO DI CRAMER E’ L’APPLICAZIONE DEL CALCOLO DI DETRMINANTI ALLA RISOLUZIONE DI UN SISTEMA. IL METODO RISULTA AUTOMATICO.

SI COSTRUISCONO TRE DETERMINANTI DI DUE RIGHE PER DUE COLONNE; IL PRIMO, Δ, CONTIENE I COEFFICIENTI DELLE INCOGNITE;
NEL SECONDO, ΔX, BISOGNA SOSTITUIRE I COEFFICIENTI DELLA X CON IL TERMINE NOTO, E ANALOGAMENTE PER ΔY E Y.

CALCOLIAMO IL Δ DEL SISTEMA.

Δ = 2 * (2) – ( -1)* (3) = 4 – (-3) = 4 + 3 = 7

CALCOLIAMO IL ΔX DEL SISTEMA.

ΔX = 3 * (2) – ( -1)* (1) = 6 – (-1) = 6 + 1 = 7

CALCOLIAMO IL ΔY DEL SISTEMA.

ΔY = 2 * (1) – ( 3)* (3) = 2 – (+9) = 2 – 9 = -7

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’:

 X = ΔX/Δ =  7 / 7 = 1

Y = ΔY/Δ =  -7/7 = -1

VERIFICHIAMO

NELLA 1)       2 * (1) – (-1) = 3

2+1 = 3       3=3

NELLA 2)     3* ( 1) + 2 ( -1) = 1

3  – 2 = 1      1 =1

ESERCIZI.