Sistemi di equazioni di I grado a 2 incognite - Fad Matematica da Roma

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SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE CON COEFFICIENTI INTERI.

Sistemi equazioni di I grado a 2 incognite: studiamo quelli a coefficienti interi.

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE CON COEFFICIENTI INTERI.

I SISTEMI POSSONO AVERE COME COEFFICIENTI DELLE INCOGNITE: FRAZIONI, RADICALI O ANCHE DELLE LETTERE.

IN GENERALE UN SISTEMA DI EQUAZIONI E’ L’INSIEME DI PIU’ EQUAZIONI A PIU’ INCOGNITE, LE EQUAZIONI SONO CIASCUNA SODDISFATTA DALLO STESSO GRUPPO DI SOLUZIONI. IL GRADO DEL SISTEMA E’ IL GRADO MASSIMO DELLE SUE EQUAZIONI. ESISTONO SISTEMI A TRE, QUATTRO … INCOGNITE, MA NON SEMPRE ESISTE UN METODO DI SOLUZIONE.

ANALISI INDETERMINATA DI UNA EQUAZIONE DI I GRADO A DUE INCOGNITE.

2 x – y = 8

ASSEGNAMO UN VALORE NUMERICO A NOSTRO PIACERE ALLA VARIABILE INDIPENDENTE X. RISOLVENDO L’EQUAZIONE DI I GRADO NELLA VARIABILE DIPENDENTE X TROVEREMO SEMPRE UN VALORE NUMERICO.

PER X= 0 Y= (8 ) : ( – 1) = -8

PER X= + 1 Y= (8 -2) : ( – 1) = -6

PER X = +5 Y= (8-10) : ( – 1) = +2

PER X=+ 6 Y= (8-12) : ( – 1) = +4

TROVEREMO INFINITE COPPIE DI VALORI CHE RAPPRESENTATI IN UN PIANO CARTESIANO SONO TUTTI ALLINEATI, E QUINDI UNENDOLI SI TRACCIA UNA LINEA RETTA,

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE CON COEFFICIENTI INTERI. POSSIBILI SOLUZIONI

UN SISTEMA DI EQUAZIONI PUO’ ESSERE:

DETERMINATO QUANDO AMMETTE UNA SOLUZIONI IN NUMERO FINITO
INDETERMINATO QUANDO AMMETTE INFINITE SOLUZIONI
IMPOSSIBILE QUANDO NON AMMETTE SOLUZIONI

PENSANDO ALLE POSIZIONI DI DUE RETTE NEL PIANO CARTESIANO CI SONO TRE POSSIBILTA’: SI INCONTRANO IN UN PUNTO, QUINDI IL SISTEMA CORRISPONDENTE HA UNA SOLUZIONE; SONO PARALLELE E NON SI INCONTRANO MAI, IL SISTEMA E’ IMPOSSIBILE, SONO SOVRAPPOSTE. IL SISTREMA E’ INDETERMINATO.

CRITERIO PER STABILIRE A PRIORI CHE TIPO DI SOLUZIONI HA UN SISTEMA.

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. SOSTITUZIONE.

IL METODO DI SOSTITUZIONE È IL PIÙ SEMPLICE.
1) RISOLVIAMO ( si dice esplicitiamo ) UNA DELLE DUE ’EQUAZIONI RISPETTO AD UN’INCOGNITA A PIACERE.

CIOÈ A I MEMBRO ( a sinistra del segno = ) SI LASCIA UN’INCOGNITA ( IN QUESTO CASO LA X ) E SI TRASPORTA TUTTO AL II MEMBRO ( dopo il segno = ). ABBIAMO A II MEMBRO UNA ESPRESSIONE ( LA 3 ) DOVE COMPARIRÀ ANCHE L’ALTRA INCOGNITA (IN QUESTO CASO LA Y ).

1 ) 2 X + 3 Y = 23

2 ) 5 X -2 Y = 10

DALLA 1 ) 2X = 23 – 3Y

X = ( 23 – 3Y ) : 2

CHE CHIAMO 3 )

2) QUESTA ESPRESSIONE ( LA 3) TROVATA DELLA PRIMA INCOGNITA ( IN QUESTO CASO DELLA X ) SI SOSTITUISCE NELL’ALTRA EQUAZIONE DEL SISTEMA AL POSTO DELLA PRIMA INCOGNITA ( CIOE’ DELLA X ).

SOSTITUISCO LA 3) NELLA 2) AVREMO

[5 * ( 23 – 3Y )]/ 2 – 2 Y = 10

3) ADESSO ABBIAMO UN’EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NELLA SECONDA INCOGNITA ( IN QUESTO CASO LA Y ) E POSSIAMO RISOLVERLA.

[5 * ( 23 – 3Y )]/ 2 – 2 Y = 10

MOLTIPLICO TUTTO PER 2

5 *( 23 -3Y) -4 Y= 20

115 -15Y -4Y= 20

-19 Y = 20 – 115

Y = -95/-19 = +5

CHE CHIAMO 4)

4) TROVIAMO LA SOLUZIONE DI QUESTA EQUAZIONE DI PRIMO GRADO LA 4) ( IN QUESTO CASO CON INCOGNITA Y ) E LA SOSTITUIAMO NELLA ESPRESSIONE TROVATA PRIMA (LA 3 ) CHE DIVENTA UN’EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NELLA PRIMA INCOGNITA ( IN QUESTO CASO IN X ) CHE POSSIAMO RISOLVERE.

SOSTITUISCO LA 4) NELLA 3) AVREMO

X = ( 23 -15)/2= 8/2 = 4

LA SOLUZIONE DUNQUE E’

X= 4 Y = 5

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. CONFRONTO.

IL METODO DI CONFRONTO È SIMILE AL PRECEDENTE. SI SERVE DELLA NOZIONE COMUNE

SE A = B E A = C, ALLORA B = C.

RISOLVIAMO ENTRAMBE LE EQUAZIONI RISPETTO ALLA STESSA VARIABILE ( SI ISOLA AL I MEMBRO, IN QUESTO CASO X ), E POI SI UGUAGLIANO I SECONDI MEMBRI.

SI OTTIENE UNA EQUAZIONE DI I GRADO NELLA SECONDA VARIABILE ( IN QUESTO CASO Y ) E LA RISOLVIAMO.

IL VALORE DELL’ INCOGNITA TROVATO ( IN QUESTO CASO DELLA Y ) SI SOTITUISCE, COME TI PIACE, IN UNA DELLE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA.

1 ) 2X + 3 Y = 23

2 ) 5X-2Y=10

1) X = ( 23 – 3Y ) : 2

2) X = ( 10 +2Y ) : 5

ALLORA ABBIAMO

( 23 – 3Y ) : 2 = ( 10 +2Y ) : 5

CIOE’ UNA EQUAZIONE DI I GRADO IN Y. LA RISOLVIAMO.

APPLICO IL PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE: MOLTIPLICO TUTTI E DUE ( entrambi) I MEMBRI PER 10 ( CHE E’ IL m.c,m TRA 2 E 5)

10 * ( 23 – 3Y )/ 2 = 10 * ( 10 +2Y )/ 5

SEMPLIFICO 5 *( 23 – 3Y ) = 2 * ( 10 +2Y )

115 -15Y = 20 +4Y -15 Y -4Y = 20 – 115

-19Y = -95 Y = -95/-19 = +5

SOSTITUISCO Y = 5 IN 1) OPPURE IN 2)

DALLA 2 ) ABBIAMO

X = ( 10 + 10 ) : 5 = 20 : 5 = 4

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’ X= 4 Y = 5

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE.

IL METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE O DI COMBINAZIONE LINEARE SPESSO RISULTA PIÙ SEMPLICE DA APPLICARE. QUESTO ACCADE QUANDO I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE IN ENTRAMBE LE EQUAZIONI HANNO LO STESSO VALORE ASSOLUTO.

1 ) 2X + 3 Y = 23

2 ) -2X -2Y=10

SE I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE ( IN QUESTO CASO DELLA X ) SONO OPPOSTI ALLORA ADDIZIONO MEMBRO A MEMBRO LE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA. ABBIAMO

2X + 3 Y -2X -2Y = 23 +10

LA X SI ANNULLA E RESTA UNA EQUAZIONE DI PRIMO GRADO IN Y

3Y-2Y = 23 +10 QUINDI Y = 33

SOSTITUISCO QUESTO VALORE DELLA Y IN UNA DELLE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA AD ESEMPIO NELLA 1)

2X +3 ( +33) = 23 2X = 23 – 99 2X = -76 X = – 38

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’ X= -38 Y= 33

1 ) 2X + 3 Y = 20

2 ) +2X -2Y=10

SE I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE ( IN QUESTO CASO DELLA X ) SONO UGUALI ALLORA SOTTRAGGO MEMBRO A MEMBRO LE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA. ABBIAMO

2X + 3 Y – (+2X -2Y )= 20 – ( +10 ) 2X + 3Y-2X+2Y= 20-10

LA X SI ANNULLA E RESTA UNA EQUAZIONE DI PRIMO GRADO IN Y

3Y+2Y = 20 -10 5Y = 10 Y = 10/5 Y = 2

SOSTITUISCO QUESTO VALORE DELLA Y IN UNA DELLE DUE EQUAZIONI DEL SISTEMA AD ESEMPIO NELLA 2)

2X -2 ( 2) = 10 2X – 4 = 10 2 X = 10-4 X= 3

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA E’ X= 3 Y= 2

COMBINAZIONE LINEARE.

SE I COEFFICIENTI DI UNA DELLE DUE INCOGNITE HANNO VALORE ASSOLUTO DIVERSO ALLORA SI FA UNA COMBINAZIONE LINEARE, CHE SI BASA SUL PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE: SE MOLTIPLICHIAMO PER UNO STESSO NUMERO UNA EQUAZIONE SI HA UNA EQUAZIONE EQUIVALENTE, CIOE’ CHE HA LE STESSE SOLUZIONI.

INVERTIAMO I VALORI ASSOLUTI DEI COEFFICIENTI DELLE DUE INCOGNITE IN ENTRAMBI LE EQUAZIONI E PREPARIAMO UNA TABELLA A DUE COLONNE, COME SI VEDE IN FIGURA.

MOLTIPLICHIAMO PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA X DELLA SECONDA EQUAZIONE LA PRIMA EQUAZIONE E PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA X DELLA PRIMA EQUAZIONE LA SECONDA EQUAZIONE.

IN QUESTO ESEMPIO MOLTIPLICHIAMO LA PRIMA EQUAZIONE PER 5 E LA SECONDA PER 2. SI HA COSI’ UN SISTEMA EQUIVALENTE A QUELLO DI PARTENZA E POSSIAMO APPLICARE IL METODO DI SOTTRAZIONE. TROVANDO IL VALORE DELL’INCOGNITA Y.

MOLTIPLICHIAMO PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA Y DELLA SECONDA EQUAZIONE LA PRIMA EQUAZIONE E PER IL VALORE ASSOLUTO DEL COEFFICIENTE DELLA Y DELLA PRIMA EQUAZIONE LA SECONDA EQUAZIONE.

IN QUESTO ESEMPIO MOLTIPLICHIAMO LA PRIMA EQUAZIONE PER 2 E LA SECONDA PER 3. SI HA COSI’ UN SISTEMA EQUIVALENTE A QUELLO DI PARTENZA E POSSIAMO APPLICARE IL METODO DI ADDIZIONE, TROVANDO IL VALORE DELL’INCOGNITA X.

I DETERMINANTI.

SONO SCRITTURE DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE. IL NUMERO DELLE RIGHE E’ UGUALE A QUELLO DELLE COLONNE E SI CHIAMA ORDINE DEL DETERMINANTE.

DETERMINANTE DEL II ORDINE

PER CALCOLARE UN DETERMINANTE SI FA COSI’:

MOLTIPLICA GLI ELEMENTI PRESENTI SULLA DIAGONALE DELLA TABELLA CHE PARTE DA IN BASSO A DESTRA (FARE CIOÈ a₁ * b₂
MOLTIPLICA GLI ELEMENTI PRESENTI SULLA DIAGONALE DELLA TABELLA CHE PARTE DA IN BASSO A SINISTRA (FARE CIOÈ b₁ * a₂
SOTTRAI IL SECONDO NUMERO AL PRIMO.

SISTEMI EQUAZIONI DI I GRADO A 2 INCOGNITE. CRAMER.

IL METODO DI CRAMER E’ L’APPLICAZIONE DEL CALCOLO DI DETRMINANTI ALLA RISOLUZIONE DI UN SISTEMA. IL METODO RISULTA AUTOMATICO.

SI COSTRUISCONO TRE DETERMINANTI DI DUE RIGHE PER DUE COLONNE; IL PRIMO, Δ, CONTIENE I COEFFICIENTI DELLE INCOGNITE;
NEL SECONDO, ΔX, BISOGNA SOSTITUIRE I COEFFICIENTI DELLA X CON IL TERMINE NOTO, E ANALOGAMENTE PER ΔY E Y.